51微分方程模型

数学建模讲义主讲人:黄利国滨州学院数学系Email:[e-mail]第三讲微分方程模型动态模型•描述对象特征随时间(空间)的演变过程•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段•根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模•根据建模目的和问题分析作出简化假设•按照内在规律或用类比法建立微分方程主要内容生物单种群增长模型3.1人口增长模型3.2传染病模型生物多种群增长模型3.3正规战与游击战3.4捕食系统的Volterra方程为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。美丽的大自然种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。离散化为连续，方便研究3.1如何预报人口的增长--Malthus模型与Logistic模型背景：年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长常用的计算公式kkrxx)1(0今年人口x0,年增长率r，k年后人口指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)x(t):时刻t的人口，则某段时间内人口的增长数目基本假设:人口(相对)增长率r是常数,不考虑移民()()()xttxtrxtt0)0(,xxrxdtdxtrextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长写微分方程的形式为求积分，结果为：模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6（即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。19502000205021002150220000.511.522.533.5x1011t/年N/人马尔萨斯模型人口预测模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。指数增长模型的应用及局限性•与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合•适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代•可用于短期人口增长预测•不符合19世纪后多数地区人口增长规律•不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大r是x的减函数假设)0,()(srsxrxrr~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrmxrs0)(mxrrxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0xmxm/2xmxtxxxemmrt()()110tx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm•利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4•专家估计r=0.2557,xm=392.1继续模型检验1用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较(2000)(1990)(1990)(1990)[1(1990)/]mxxxxrxxx实际为281.4(百万)5.274)2000(x模型应用1——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0模型检验2用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：几乎完全吻合，见图2.309375()174tNte图Malthus模型和Logistic模型的总结Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),(•年龄分布对于人口预测的重要性•只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程的人口）年龄人口分布函数rtrF(~),(人口密度函数~),(trp人口总数~)(tN最高年龄~)(mr),(),(trptrtprp11,),(),()],(),([)],(),([drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口发展方程死亡率~),(trdrtrp),(人数年龄],[,drrrt死亡人数内),(dttt人数年龄],[,11drdrrdrrdtt1drdt一阶偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(1例2:传染病模型问题•描述传染病的传播过程•分析受感染人数的变化规律•预报传染病高潮到来的时刻•预防传染病蔓延的手段•按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i(t)•每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为)(),(tsti2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模[()()][()]()NittitNstitt0)0()1(iiiidtdi~日接触率SI模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi1/2tmii010tLogistic模型11ln01itmtm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tm1it病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率ttNittitNstittiN)()()()]()([建模/~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。0)0()1(iiiiidtdi)]11([iidtdi/iiidtdi)1(1-1/idi/dt011i0i00ti11-1/i0i0t1di/dt011,1()0,1i接触数=1~阈值1()it注：治愈率大于有效接触率，患者就会全部治愈。01,()iitS小按形曲线增长模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模1)()()(trtits需建立的两个方程)(),(),(trtstittNittitNstittiN)()()()]()([模型4SIR模型很小）通常000)0((1rrsi无法求出的解析解)(),(tsti在相平面上研究解的性质is~ttitNststtsN)()()]()([00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去dtSIR模型}1,0,0),{(isisisD相轨线的定义域)(si相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析)(sisi101D000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss满足miis,/1传染病蔓延传染病不蔓延P1s0/1ims3.p1:s01/i(t)先升后降至04.p2:s01/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0相轨线分析的一些结论1.不论i0,s0,初始条件如何，病人最终消失。2.s(t)单调减相轨线的方向0,it模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s01/•降低s0提高r01000ris•提高阈值1/降低(=/),群体免疫ssss00lnln的估计0ln1000sssis0i忽略模型4SIR模型被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi00,s01小,s01提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=