2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题23 直线与圆的定点、定值问题

专题二十三直线与圆的定点、定值问题专题二十三直线与圆的定点、定值问题主干知识整合专题二十三│主干知识整合1．直线过定点(1)y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线．(2)(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程．2．圆过定点(1)x2＋y2＋Dx＋Ey＝0表示的是过原点的圆的方程．(2)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0表示的是过直线A1x＋B1y＋C1＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆的方程．3．常见问题(1)直线过定点、圆过定点及相关特征研究．(2)动直线与定圆相切、相交、相离的研究．(3)定直线与动圆相切、相交、相离的研究．要点热点探究专题二十三│要点热点探究►探究点一圆过定点问题圆的方程需要三个独立条件才能确定，当条件不足时，这时候的圆就是动圆．动圆过定点即定点(x0，y0)必定是动圆f(x，y)＝0方程的解．专题二十三│要点热点探究例1如图23－1，椭圆x24＋y23＝1，其左、右焦点分别为F1，F2，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且F1M→·F2N→＝0，以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．图23－1专题二十三│要点热点探究【解答】由题可设点M(4，y1)，N(4，y2)，则以MN为直径的圆的圆心C的坐标为4，y1＋y22，半径r＝|y2－y1|2，从而圆C的方程为(x－4)2＋y－y1＋y222＝y2－y124，整理得x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋16＋y1y2＝0，由F1M→·F2N→＝0得y1y2＝－15，所以x2＋y2－8x－(y1＋y2)y＋1＝0，令y＝0得x2－8x＋1＝0，所以x＝4±15，所以圆C过定点(4±15，0)．专题二十三│要点热点探究【点评】本题中涉及的方法有二，一是以M(x1，y1)，N(x2，y2)为直径的圆的方程是以M，N中点x1＋x22，y1＋y22为圆心，半径为x1－x22＋y1－y224的圆；二是本题所得圆的方程要过定点，则圆的方程的解与M和N点的坐标无关．专题二十三│要点热点探究►探究点二定直线与动圆相切问题例2在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4,0)，B(4,0)，C(0，－2)，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为3r.(1)求圆M的方程；(2)当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．定直线与动圆相切问题，从代数角度出发即证明d＝r恒成立，从几何角度出发可研究动圆的几何特征，再进行论证．专题二十三│要点热点探究【解答】(1)由题中条件易求得线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.设M(a,2a＋3)(a0)，则⊙M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.圆心M到y轴的距离d＝a，由r2＝a2＋3r22，得a＝r2.所以⊙M的方程为x－r22＋(y－r－3)2＝r2.(2)假设存在定直线l与动圆M相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．专题二十三│要点热点探究设直线l：y＝kx＋b，则k×r2－r－3＋b1＋k2＝r对任意r0恒成立．由k2－1r＋b－3＝r1＋k2.得k2－12r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.所以k2－12＝1＋k2，k－2b－3＝0，b－32＝0，解得k＝0，b＝3或k＝－43，b＝3.所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切．专题二十三│要点热点探究【点评】由于本题动圆的几何特征中圆心和半径都在变化，几何特征不明显，故采取直接论证d＝r恒成立．本题中参量较多，要抓住关键量即等式的成立与r的取值无关．专题二十三│要点热点探究►探究点三参量的定值问题论证参量的值是否是定值，关键是建立与参量有关的等式，并对等式进行化简，如果化简至常数，即证明参量的取值为定值．专题二十三│要点热点探究例3已知椭圆E：x28＋y24＝1.设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为455.(1)求圆O的方程；(2)若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有MNNQ为定值．图23－2专题二十三│要点热点探究【解答】(1)∵A(4,0)，B(0,2)，∴直线AB的方程为y＝－12x＋2，即x＋2y－4＝0，则O到AB的距离d＝45，∴圆O的半径r＝452＋12×4552＝2，∴圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)椭圆E的右准线的方程为x＝4.设l上取定的点M为(4，t)，圆O上的任意一点N为(x0，y0)，定点Q为Q(x，y)，∵MN与NQ的比是常数且Q不同于M，∴NQ2＝λMN2，λ是正的常数(λ≠1)．专题二十三│要点热点探究即(x0－x)2＋(y0－y)2＝λ(x0－4)2＋λ(y0－t)2，x20＋y20－2xx0－2yy0＋x2＋y2＝λ(x20＋y20＋16＋t2－8x0－2ty0)，将x20＋y20＝4代入有－2xx0－2yy0＋x2＋y2＋4＝－8λx0－2λty0＋(20＋t2)λ，∵有无数组(x0，y0)满足上述等式，∴x＝4λ，①y＝tλ，②x2＋y2＋4＝20＋t2λ，③将①、②代入③得16λ2＋t2λ2＋4＝(20＋t2)λ，即(16＋t2)λ2－(20＋t2)λ＋4＝0，∴(λ－1)[(16＋t2)λ－4]＝0，∵λ≠1，∴λ＝416＋t2.即存在一个定点Q(不同于点M)，使得对于圆O上的任意一点N，均有MNNQ为定值．专题二十三│要点热点探究【点评】本题中参量较多，t为常数，方程－2xx0－2yy0＋x2＋y2＋4＝－8λx0－2λty0＋(20＋t2)λ对于x0，y0恒成立，从而可以得到三个方程来求λ的值，只要λ的值与x0，y0无关，即证明了比值为定值．规律技巧提炼专题二十三│规律技巧提炼1．定点问题的求解步骤(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量．(2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量．(3)定点：求出定点坐标．利用方程ax＋b＝0恒成立来处理定点问题．在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证．专题二十三│规律技巧提炼2．定值问题的处理(1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值．(2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形．3．含有多个参量的等式的化简原则当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数．专题二十三│江苏真题剖析江苏真题剖析例[2008·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点．经过三点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．【分析】本题中圆过定点的研究是利用方程x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0对于b1(b≠0)的b都成立从而求出x0，y0.专题二十三│江苏真题剖析【解答】(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.专题二十三│江苏真题剖析(3)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x20＋y20＋2x0－y0＝0，解得x0＝0，y0＝1或x0＝－2，y0＝1，经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此，圆C过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．图23－3专题二十三│江苏真题剖析专题二十三│江苏真题剖析【解答】(1)设直线l的方程为：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，由题可知圆心C1到直线l的距离d＝22－2322＝1，结合点到直线距离公式，得|－3k－1－4k|k2＋1＝1，化简得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－724，求得直线l的方程为y＝0或y＝－724(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－1k(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－1kx－y＋n＋1km＝0.专题二十三│江苏真题剖析因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．故有|－3k－1＋n－km|k2＋1＝－4k－5＋n＋1km1k2＋1，化简得(2－m－n)k＝m－n－3，或(m－n＋8)k＝m＋n－5，因为关于k的方程有无穷多解，所以有2－m－n＝0，m－n－3＝0或m－n＋8＝0，m＋n－5＝0，解得m＝52，n＝－12或m＝－32，n＝132.所以点P坐标为－32，132或52，－12.