第3章杆件的应力与强度II111

第3章杆件的应力与强度第3章杆件的应力与强度☆3.1应力、应变及其相互关系☆3.3连接件的应力与强度☆3.2轴向拉压杆的应力与强度☆3.4圆轴扭转时的应力与强度☆3.5梁的应力与强度梁弯曲的若干定义与概念对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetricplane)。第3章杆件的应力与强度主轴平面：梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为梁的主轴平面(planeincludingprincipalaxes)。由于对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面。☆梁的应力与强度平面弯曲－所有外力（包括力力偶）都作用梁的同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(planebending)。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度梁弯曲的若干定义与概念纯弯曲：一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲(purebanding)。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度梁弯曲的若干定义与概念横力弯曲：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为横力弯曲(transversebending)。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度梁弯曲的若干定义与概念※梁的中性层与横截面的中性轴第3章杆件的应力与强度梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些则会发生缩短变形，在伸长层与缩短层的交界处那一层，既不发生伸长变形，也不发生缩短变形，称为梁的中性层或中性面(neutralsurface)。中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴(neutralaxis)。☆梁的应力与强度梁弯曲的若干定义与概念中性层与中性轴第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度梁弯曲的若干定义与概念分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程确定横截面上正应力的方法与过程纯弯曲时梁横截面上的正应力mmnnFF实验现象第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度纯弯曲时梁横截面上的正应力1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度实验现象纯弯曲时梁横截面上的正应力用相邻的两个横截面从梁上截取长度为dx的微段，假定梁发生弯曲变形后，微段的两个横截面仍然保持平面，但是绕各自的中性轴转过一角度dθ。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度纯弯曲时梁横截面上的正应力在横截面上建立Oxy坐标系，其中z轴与中性轴重合(位置未定)，y轴沿横截面高度方向并与加载方向重合。微段上到中性面的距离为y处长度的改变量为：ddyx＝－式中的负号表示y坐标为正的线段产生压缩变形，反之产生伸长变形。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度纯弯曲时梁横截面上的正应力ddyx＝－将线段的长度改变量除以原长dx，即为线段的正应变。于是得到yxyxx＝－＝－＝dddd这就是正应变沿横截面高度方向分布的数学表达式。其中xdd1＝第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度纯弯曲时梁横截面上的正应力y＝－其中为中性面弯曲后的曲率半径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率半径。因为与y坐标无关，所以在上述二式中，为常数。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度xdd1＝纯弯曲时梁横截面上的正应力应用弹性范围内的应力－应变关系的虎克定律:E＝得到正应力沿横截面高度分布的数学表达式CyyρEσ＝＝－式中为待定的比例常数，E为材料的弹性模量。ρEC/＝第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度纯弯曲时梁横截面上的正应力CyyE＝＝－这表明，横截面上的弯曲正应力，沿横截面的高度方向从中性轴为零开始呈线性分布。这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个问题没有解决：一是中性轴的位置没有确定，y坐标无法计算；二是中性面的曲率半径没有确定。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度纯弯曲时梁横截面上的正应力应用静力方程确定待定常数xzyCdAyzσdA于是，应用积分的方法，负号表示坐标y为正值的微面积dA上的力对z轴之矩为负值；Mz为作用在加载平面内的弯矩。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度0∫＝＝NAFAdσ()zAMyAdσ＝－∫纯弯曲时梁横截面上的正应力zI应用静力方程确定待定常数xzyCdAyzσdA第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度()zAMyAdσ＝－∫CyyρEσ＝＝－()zAAMdAyCyAdCy－==2∫∫zzIMC＝－zzIyMσ＝纯弯曲时梁横截面上的正应力将正应力表达式代入静力方程Sz=0第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度结论中性轴一定通过截面的形心Cyσ＝0=∫NAFAdσ＝0==∫∫dAyCAdCyAA纯弯曲时梁横截面上的正应力对于有两根对称轴的截面，两根对称轴的交点就是截面的形心。对于只有一根对称轴的截面，或者没有对称轴的截面的形心，可以从有关的设计手册中查到。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度纯弯曲时梁横截面上的正应力第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度纯弯曲时梁横截面上的正应力工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的y坐标值最大，即y=ymax。将y=ymax代入正应力公式得到其中WZ称为弯曲截面系数，单位是mm3或m3。zzzzWMIyMσ==maxmaxmax=yIWzzyzbhzyd第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度6=212=2=23bhhbhhIWzz6=212=2=23hbbhbbIWyy32=264=2===34dπddπdI章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度zzzzWMIyMσ==maxmaxmax=yIWzz32)1(=264)1(=2===4344αDπDαDπDI－－Ddα=纯弯曲时梁横截面上的正应力这是梁弯曲时的另一个重要公式－梁的轴线弯曲后的曲率的数学表达式。其中EIz称为梁的弯曲刚度或抗弯刚度。这一结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度CyyρEσ＝＝－zzIyMσ＝zzEIMρ＝1纯弯曲时梁横截面上的正应力第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度理论与实验结果都表明，由于切应力的存在，梁的横截面在受力之后不再保持平面，而是要发生翘曲。对于细长梁，这种翘曲对正应力影响很小，通常可忽略不计。以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯曲，也就是横截面上除了弯矩之外、还有剪力的情形，如果是细长杆，也是近似适用的，即zzIyxM＝横力弯曲时梁横截面上的正应力第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度横力弯曲时梁横截面上的正应力关于正应力的正负号xyz〇+〇－MyxyzMz〇+〇－确定正应力正负比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；如果所要求应力的那一点在受拉区则产生拉应力，否则产生压应力。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度横力弯曲时梁横截面上的正应力关于最大正应力弯矩最大的横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应力。应该首先根据弯矩值和截面的几何性质判断可能产生最大正应力的那些截面，这些截面称为危险截面；然后比较所有危险截面上的最大正应力，其中最大者才是梁内横截面上的最大正应力。保证梁安全工作而不发生破坏，最重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度横力弯曲时梁横截面上的正应力关于最大拉应力和最大压应力平面弯曲时，如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，则中性轴与一对称轴一致，此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等。zzIyMmaxmax＝zzIyM－－＝maxmax如果横截面只有一根对称轴，且加载方向与对称轴一致，则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，要分别计算。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度试计算图示简支木梁横放与竖放时的最大正应力，其中h=200mm，b=100mm。m4mkNq2竖放横放8/2qLMPabhqLWMZ66822maxmaxMPahbqLWMZ126822maxmax【例3-19】【解】200100200100第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度已知FP=32kN，l=2m，横截面形心坐标yC=96.4mm，对于z轴的惯性矩Iz=1.02108mm4。求：梁内最大正应力。FRAFRB1．确定弯矩最大截面以及最大弯矩值FRA=FRB=16kNPmax16kNm4FlM【例3-20】【解】第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度FRAFRB2．计算最大拉应力和最大压应力3-36maxmax484316kNm10135.6mm10240910Pa2409MPa1.0210mm10..zMyI＝＝3-36maxmax484316kNm10964mm10151210Pa1512MPa10210mm10....zMyI＝＝中性轴【解】工程设计中，为了保证梁具有足够的安全裕度，梁的危险截面上的最大正应力，必须小于许用应力，许用应力等于s或b除以一个大于1的安全因数。于是，有上述二式就是基于最大正应力的梁弯曲强度计算准则，又称为弯曲强度条件，式中为弯曲许用应力；ns和nb分别为对应于屈服强度（塑性材料）和强度极限（脆性材料）的安全因数。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度[]σnσσssmax=≤[]σnσσbbmax=≤梁的正应力强度计算对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强度条件为──拉伸许用应力──压缩许用应力第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度tmax≤cxam≤－[]bbnσσ++＝bb＝n－－根据上述强度条件，可以解决三类强度问题：强度校核、截面尺寸设计、确定许用载荷。梁的正应力强度计算根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力；画出梁的弯矩图，确定可能的危险截面；根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度性能是否相等，确定可能的危险点：应用强度条件进行强度计算。梁的正应力强度设计步骤第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度梁的正应力强度计算圆轴在A、B处的滚珠轴承可简化为铰链支座；轴外伸部分BD是空心的。这样的圆轴主要承受弯曲变形，因此，可以简化为外伸梁。已知材料的拉伸和压缩的许用应力相等，=160MPa。试分析：圆轴的强度是否安全。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度【例3-21】FRAFRBFRA=5.86kNFRB=5.07kN1.确定约束力MC=1.17kNmMB=0.9kNm2.画弯矩图，判断危险截面根据弯矩图和圆轴的截面尺寸，在实心部分C截面处弯矩最大，为危险截面；在空心部分，轴承B以右截面处弯矩最大，为危险截面。MCMB第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度【解】FRAFRB3.计算危险截面上的最大正应力C截面：.3MPa55323max　　DMWMMBMCB右截面：max34321MMWD.9MPa254.分析梁的强度是否安全因此，圆轴是安全的。第3章杆件的应力与强度☆梁的应力与强度FRAFRBMPa160σσ图示T形截面铸铁梁，FP=20kN，形心坐标yC=96.4mm，截面对于z轴的惯性矩Iz=1.02108mm4。已知材