55角平分线定理

13.5.3角的平分线本节课学习目标•1.掌握角平分线性质定理并学会应用.•2.掌握角平分线判定定理并学会应用.自学内容：课本96-98页角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.你能用三角形全等证明这个性质吗？自学检测：已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE证明：∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2又∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在ΔOPD和ΔOPE中∵∠1=∠2∠PDO=∠PEOOP=OP(公共边)∴ΔOPD≌ΔOPE(AAS)∴PD=PEAOBEDPC12自学检测：定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上。角平分线的判定定理AOBPDEC用符号语言表示为：∵PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB∴∠AOC=∠BOC.自学检测：1.填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(2).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。角平分线上的点到角的两边的距离相等基础练习：PAl1l2图1图2Pl1l2B（1）下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（）2.选择题：基础练习：2：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（）APMAPN基础练习：（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴=，()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。ADCBBDCD基础练习：3.判断：（）×（2）∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。ADCBBDCD（×）基础练习：（3）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DE⊥AB（已知）∴=，（）DBDC角的平分线上的点到角的两边的距离相等。ADCB√基础练习：4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE。ABCDE12证明：∵∠C=90°（已知）∴DC⊥AC（垂直的定义）又∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB（已知）∴CD=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）又∵BC=8，BD=5∴CD=BC－BD=8－5=3∴DE=3基础练习：5.已知：如图，∠C=∠C′=90°，AC=AC′.求证（1）∠ABC=∠ABC′；（2）BC=BC′.（要求不用三角形全等的判定）CBAC′基础练习：证明：∵∠C=∠C′=90°，AC=AC′（已知）∴∠ABC=∠ABC′（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上）又∵∠ABC+∠BAC=∠ABC′+∠BAC′=90°（直角三角形的两锐角互余）∴∠BAC=∠BAC′（等角的余角相等）又∵∠C=∠C′=90°（已知）∴BC=BC′（角平分线上的点到角的两边的距离相等）1.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等.（2）AP平分∠A.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF（等量代换）.即点P到边AB、BC、CA的距离相等∴AP平分∠A（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）DEFABCPMN提高训练证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分线的性质)在Ｒt△FCD和Rt△DBE中CD=DE（已证）DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=DE（全等三角形对应边相等）DFECBA2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB。提高训练3.如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ提高训练本节课学习了什么内容？2.如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。求证：∠BDP=∠CDPPCABDEDMCBA1.如图所示，△ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。求证：MD=ME。当堂检测：家庭作业：点拨训练