热力学习题

热力学习题课2006.11.20基本概念和规律1.理想气体的状态方程.mpVRTpnkTM或2212323tpnmvnR=831J·mol-1·K-1称为普适气体恒量；n为分子数密度。2.理想气体的压强公式3.理想气体的温度公式21322tmvkTk=R/NA=13810-23J·K-1称为玻尔兹曼恒量；4.能量按自由度均分原理物质分子每个自由度平均动能为:kT212mMiERTM3/222()4exp()22mmvfvvkTkT5.理想气体内能其中i=t+r+2s,而t、r、s分别为分子的平动、转动、振动自由度。6.麦克斯韦速率分布定律速率分布曲线：f(v)v0()vdNfvdvNmkTvp27.三种速率最概然速率mkTvvvfv8d0)(平均速率mkTvvfvv3d21022/)(方均根速率vndZ228.气体分子的平均碰撞频率和平均自由程平均碰撞频率平均自由程pdkTnd222219.一摩尔真实气体的范氏方程*RTbVVap))((2a,b,的修正意义三个速率的物理意义及它们的用途AEQAEEQddd,1211.摩尔热容ddQCT理想气体等容摩尔热容:理想气体等压摩尔热容:RiCV2RiCp22迈耶公式:RCCVp比热容比:VpCC10.热力学第一定律VPEQddd热学中的能量守恒，是普适的！对于准静态过程：理想气体的等值过程、绝热过程和多方过程公式过程特征过程方程吸收热量对外做功内能增量等体V=常量等压p=常量等温T=常量绝热dQ=0多方常量Tp常量TV常量pV常量pV常量TV1常量Tp1常量npV)(12TTCMMVmol0)(12TTCMMVmol)(12TTCMMVmol)(12TTCMMVmol)(12TTCMMVmol)(12TTCMMpmol)()(1212TTRMMVVpmol或2112lnlnppRTMMVVRTMMmolmol或2112lnlnppRTMMVVRTMMmolmol或001)(221112VpVpTTCMMVmol或A+12211nVpVp12.循环过程热机效率致冷系数热机效率:致冷系数:1211QQQA2122QQQAQw13.卡诺循环121TTcpV0T1T2abcd212TTTwcAQQ21热力学第一定律的应用是重点，请同学们熟练掌握。14.热力学第二定律开尔文表述克劳修斯表述一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的，而且各种不可逆过程是相互关联的。自发的方向微观粒子热运动无序度小能量品质高微观粒子热运动无序度大包含微观状态数少的态包含微观状态数多的态热力学几率小的态热力学几率大的态熵小的态熵大的态能量品质低15.玻尔兹曼熵公式16.克劳修斯熵公式S=kln2112可逆TdQSSTdQdS可逆VPESTQdddd0S17.熵增加原理基本概念与基本原理讨论题1、关于速率分布函数,说明各式的意义:21(1)()dvvNfvv21(2)()dvvfvv21(3)()vvNvfvdv解：由速率分布函数()vdNfvNdv的物理意义可以知道：2211()()(1)()vNvvNvNfvdvdNN表示在v1---v2速率区间内的分子数。21201(4)()2vvmvNfvdv(5)()nfvdv222111(2)()vvvvvvdNdNfvdvNN表示在v1----v2速率区间内的分子数占总分子数的比率。2211(3)()vvvvNvfvdvvdN222111220011(4)()22vvvkvvvmvNfvdvmvdNEdN表示在v1---v2速率区间内所有分子速率的总和。表示在v1---v2速率区间内所有分子平动动能的总和。(5)()dNnfvdvnN表示单位体积内，分子速率在v---v+dv区间内的分子数。2、图中v0将速率分布曲线下的面积分为相等的两部分,试说明v0的意义.f(v)v0v0解：根据Maxwell速率分布函数，可以知道f(v)v0v0()dNfvdvN所以根据题意，两部分面积相等，也就是说在v0的两边的分子数占总分子数的比率相同。所以v0的意义是：速率大于v0的分子数=速率小于v0的分子数3、是否可以说：（1）“具有某一速率的分子有多少？速率刚好为最概然速率的分子数与总分子数之比是多少？”（2）“最概然速率就是分子速率分布中最大速率值？”解：（1）不可以。因为气体分子是以各种可能的速率运动着的，我们只能按照速率区间将分子分类统计，比如说，在v-----v+dv的区间内的平均分子数为Nf(v)dv，这是一类分子，我们认为这类分子近似的具有相同的速率，而谈论具有某一个确定的速率的分子有多少是根本没有意义的。另外，从速率分布函数的曲线所代表的物理意义也可以看出，图中任一个区间v----v+dv曲线下的窄条面积表示速率分布在这一个区间内的分子数占总分子数的比率，而某一个确定速率对应的是一条直线。因此，我们不能说具有某一个确定的速率的分子有多少。同样的道理，也不能说“速率刚好为最概然速率的分子数与总分子数之比是多少”。（2）不可以。最概然速率不是分子速率分布中的最大速率值。“最概然”的意思是发生的可能性最大。如果把整个速率范围分成许多相等的小区间，则分布在最概然速率所在区间的分子比率最大，而分子速率分布中最大速率应该是无穷大。f(v)v04、Maxwell速率分布定律的成立条件（1）、气体必须由大量分子组成。在速率分布中的dN和ΔN都指的是分子数的统计平均值。在任一个瞬时实际分布在某一个速率区间内的分子数，一般来说是与统计平均值有偏差的，偏差时大时小，这种对于统计规律的偏离现象叫做涨落现象，如果按照速率分布律推算出分布在某一个速率区间内的分子数的统计平均值为ΔN，若ΔN越大，则涨落现象越不显著，反之，就越明显，统计规律失去意义。因此Maxwell速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。（2）、气体必须处于平衡态。如果气体不处于平衡态，那么分子的速率分布就不遵从Maxwell速率分布律，而且没有确定的规律。气体从非平衡态达到平衡态的过程是通过分子间碰撞来实现，分子间的碰撞是使分子达到平衡状态并且保持确定分布的决定因素。例1、一个密闭的容器中，有一个导热不漏气的可移动的活塞把容器分隔成两部分。最初，活塞位于容器的中央，即l1=l2，如图所示。当两侧分别充以1atm，0°C的氢气和2atm，100°C的氧气后，问平衡时活塞将在什么位置（以l’1/l’2表示）。(1atm=1.013×105)l1l2H2p1,T1O2p2,T2解：设活塞的横截面积为S，开始的时候，两种气体的状态方程分别为：分析：题中给出氢气和氧气的状态参量只有压强和温度，而质量和体积是未知的参数。开始时，他们的体积相等，由理想气体方程可以得到氢气和氧气的质量之比。当最终两种气体达到平衡时，满足力学条件，两边压强相等。由于活塞是导热的不漏气，所以满足另一个平衡条件是温度相等，这样就可以得到活塞的平衡位置。1111,12222,2molmolMplSRTMMplSRTM1111,12222,2molmolMplSRTMMplSRTM12ll12,11221,2molmolpTMMMpTM由初始条件，所以，可以得到：当两种气体最终达到平衡时，他们的状态方程为：'''1111,1'''2222,2molmolMplSRTMMplSRTM根据平衡条件：''''1212ppTT，所以'1,212,1,2112'22,121,2,121551.01310(273100)0.68321.01310273molmolmolmolmolmolMMpTMMlpTlMMpTMMpT例2、容积为40L的钢瓶中储存有氧气。如果氧气的温度为27°，压强为50atm。试用vanderWaals方程计算钢瓶中氧气的量（即摩尔数）。已知a=0.1378Pa.m/mol2，b=3.183×10-5m3/mol。分析：用vanderWaals方程求解氧气的量的时候由于方程是一个三次方程，求解比较困难。可以采用逐步趋近法。解：由理想气体状态方程可以得到：53501.013104010818.31(27327)pVmolRT2[()]()paVbRTV得到一个气体的量的估计值。由vanderWaals方程：可以写成：252353[()]()[501.013100.1378()](40103.18310)40108.31(27327)paVbVRT第一次试算，把ν=81mol代入上面式子的右边，可以得到左边的ν=84.5mol。第二次试算，把ν=84.5mol代入，得到ν=85mol，第三次试算，把ν=85mol代入，进一步算得结果也是ν=85mol。因此钢瓶中的氧气的量为85mol。例3、一绝热容器，体积为2V0，由绝热板将其分隔成相等的两部分A和B，如图所示。设A内贮有1mol的单原子分子的气体，B内贮有2mol的双原子分子的气体，A、B两部分的压强均为p0。如果把两种气体都看作理想气体。现在抽去绝热板，求两种气体混合后达到平衡状态时的温度和压强。AB分析：一定量理想气体的内能是温度的单值函数。当抽去绝热板后，因为容器是绝热的，所以两种气体混合后的内能等于混合前两种气体的内能之和，即内能保持不变，由此可以计算出混合气体的温度。再由理想气体的状态方程可以求出压强。解：混合前，两种气体的内能为：003322AAAERTpV005522BBBERTpV因此两种气体的总内能为：10000035422ABEEEpVpVpV23535131222222ABERTRTRTRTRT12001342EEpVRT设混合气体的温度为T，其内能为：因为混合前后内能不变，所以所以00813pVTR由理想气体状态方程可以得到压强为：00008()1213213ABpVRRTRppVV0()vfvdv求得v2220()vvfvdvv用求出在统计方法和气体分子速率分布律这一部分中，给定分布函数f(v)，可以用()0pdfvvv用求出最概然速率2112()vvNfvdvvv用求出速率在区间内的分子数0如果分布函数中有待定常数时，需要用到归一化条件f(v)dv=1求出待定常数。例4、设由N个气体分子组成的热力学系统，其速率分布函数为：00()(0)()0Avvvvvfv其分布曲线图如图所示。求：（1）分布函数中的常数A；（2）分子的最概然速率；（3）分子的平均速率和方均根速率；（4）分子在（0---0.3）v0之间的分子数。vf(v)v0O分析：分布函数中的常数可以由归一化条件求得。在此基础上，可以求得各种速率和某个区间内的分子数。解：（1）由归一化条件，0()1fvdv0003300000011()()0()132vvvfvdvfvdvdvAvvvdvAvAv306Av可以得到：解得：所以0306()()fvvvvv（2）由()0pvvdfvdv可以得到：32001260pvvv所以012pvv（3）平均速率为：0200300061()()2vvvfvdvvvvdvvv0223200300063()()10vvvfvdvvvvdvvv220030.5510vvv所以，方均根速率为：（4）由速率分布函数()dNfvNdv可以得到：000.30.3030006()()0.216vvNdNNfvdvNvvvdvNv即：速率在（0----0.3)v0之间的