3第三章 刚体的定轴转动

第三章刚体的定轴转动3-0第三章教学基本要求3-1刚体定轴转动的动能定理和转动定律3-2定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律第三章刚体的定轴转动教学基本要求一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念.二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概念三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转换关系.四、理解刚体定轴转动定律.五、理解角动量的概念,理解刚体定轴转动的角动量守恒定律.七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题.六、会计算力矩的功(只限于恒定力矩的功)、定轴转动刚体的转动动能和对轴的角动量.八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题.明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.3-1刚体定轴转动的动能定理和转动定律预习要点1.注意描述刚体定轴转动的运动学方法.2.阅读附录1中矢量乘法.力对转轴的力矩如何计算?3.领会刚体定轴转动的动能定理的意义.注意区分平动动能和转动动能的计算式.注意力矩的功的计算方法.4.转动惯量的定义是什么?转动惯量与哪些因素有关?5.刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何?注意它的应用方法.一、刚体及刚体定轴转动刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）.刚体的运动形式：平动、转动.平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同.转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动.转动分定轴转动和非定轴转动.转轴不动,刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的平面叫转动平面.描述刚体定轴转动的物理量)()(ttt角位移)(t角坐标tttddlim0角速度角加速度tddxz)(tO定轴(Oz轴)条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转向的取正，顺时针取负.、、刚体的匀变速转动20000)(21)(tttt)(00tt)(2020220（下一页）非匀变速转动时：求导积分求导积分类似于匀变速直线动但是切记！（角加速度为恒量）线量速度、加速度角量角速度、角加速度rvrararvnt22角量与线量的关系一刚体绕定轴转动时，其上各质点的角量都相同；各点的线速度v与各点到转轴的距离r成正比，距离越远，线速度越大；同样，距离越远处，其切向加速度和法向加速度也越大。2422raaatn总加速度：求：⑴t=6·0s时的转速；⑵角加速随时间变化的规律；⑶启动后6·0s内转过的圈数。解：⑴根据题意转速随时间的变化关系，将t=6·0s代入，即得：)(68950)1(100sradet（下一页）例：某种电动机启动后转速随时间变化),1(0tes021009srad式中的关系为：⑶t=6·0s时转过的角度为dtedttss)1(60060rad936则t=6·0s时电动机转过的圈数圈8752N)]20()05026[(9][600stet⑵角加速度随时间变化的规律为：)(5420sradeedtdtt二、刚体定轴转动的动能定理Az*OFdFrMzsinMFrd(:力臂)d刚体绕Oz轴旋转,O为轴与转动平面的交点，力作用在刚体上点P,且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的位矢.Fr对转轴z的力矩F力矩MsFrFWdcosdd21dMW力矩的功力矩作功orvFxvFOxrtFrdddsindFrM转动动能2ivim21刚体内部质量为的质量元的速度为imirivniiirm122)(212222211k21Δ21Δ21nnmmmEvvvniim1Δ212iv动能为刚体定轴转动的总能量（转动动能）ni2iiω)(rm1Δ21niiirmJ12定义转动惯量niiirm12相当于描写转动惯性的物理量.转动惯量单位：kg·m2（千克·米2）.2k21JE刚体定轴转动动能计算式：对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为r，则转动惯量mrJd2与平动动能2k21vmEniiirmE122k)(21比较转动动能刚体定轴转动的动能定理刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的变化只有定轴转动动能的变化.由质点组动能定理0kkinexEEWW,0inW0dexMW20k02k21,21JEJE合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量.得刚体定轴转动的动能定理2022121d0JJMW注意:2.刚体的定轴转动的动能应用计算.2k21JE1.如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论.总之，刚体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系.转动惯量J与转动惯量有关的因素：•刚体的质量•刚体的形状•转轴的位置niirmJ12J称为刚体对转轴的转动惯量，与质点的质量相对应。刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上具有相似性。注意：转动惯量是刚体转动惯性的量度。三、刚体定轴转动的转动定律若质量连续分布dmrJ2在（SI）中，J的单位：kgm2dldm质量为线分布dsdm质量为面分布dVdm质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。面分布（下一页）几种常见形状的刚体的转动惯量lrrJ02d32/02121d2lrrJl231ml设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元rr,λmddrλrmrJddd22求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量.lO´Ordrrd2l2lO´O2121ml如转轴过端点垂直于棒刚体的转动惯量与刚体的质量m、刚体的质量分布和转轴的位置有关.转动惯量的计算举例解:222mrdmrdmrJJ是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。rOdm（下一页）例、求质量为m、半径为r的均匀细圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。在圆环上任取质量元dm例、求质量为M、半径为R、厚为l的均匀圆盘的===转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：任取半径为r宽为dr的同心细圆环,lrdrdm2drlrdmrdJ322ZORlRdrlrdJJR4032122221MRJlRm（下一页）可见，转动惯量与其厚度l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是。221MRJ转动定律21222121d21JJMW由动能定理：取微分形式：d)21(dd2JJM两边除dtdtdddωJωtM由于ttdd,dd故得JtJMdd刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.七、牛顿定律和转动定律的综合应用如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法.但应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动.把平动物体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方程.有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解.例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘，质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力.受力图如下，T1Fgm1T2Fa12mm设T2Fgm2aT1Form'm2m1JrFrFT1T2amFgm2T22amgmF11T1ra解:得解,21)(2112mmmgmmarmmmgmm)21()(2112,21)212(21211mmmgmmmFTmmmgmmmFT21)212(21122221mrJ1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动惯量J1与小球的转动惯量J2之和.oα例:一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动.某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为，杆与竖直轴的夹角为.设杆的质量为、杆长为l，小球的质量为.1mωα2m求：1）系统对轴的转动惯量；2）在图示位置系统的转动动能；3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.gm1gm2解:l21JJJ22231lmml2231lmm)(2）系统的转动动能为：2k21JωE22213121ωlmm)(3）系统所受重力有杆的重立和小球的重力.则系统所受重力对轴的力矩的大小为：21MMMαglmαlgmsinsin221αglmmsin)(2121oαgm1l3-2定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律预习要点1.认识质点对定点的动量矩的定义，刚体对转轴的动量矩如何计算?2.刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的?3.动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?一、动量矩(角动量)1.质点的动量矩vvmrprL0vr0L0Lrxyzom质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点O的位矢为，质点相对于原点的动量矩（角动量）mrvθrmLsin0v大小的方向符合右手法则.0L单位或12smkgsJ质点对定点O的动量矩在某坐标轴Oz上的投影称为该质点对轴Oz的动量矩.质点作圆运动时，其对过圆心O且运动平面垂直的轴Oz的动量矩：0LzL000z0cosLLL或00zπcosLLLωmrαrmvL20sin又rmv故得ωmrL2z（取正号LZ与Oz同向，负号反向）z2.刚体的动量矩JLOirimiv刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和.niiLL1zωrmniii12ωrmniii12)(Jω即L为正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz负向.对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.二、刚体定轴转动时的动量矩定理刚体所受的外力矩等于刚体动量矩的变化率.121221dLLJJtMtt将上式变形后积分动量矩定理:作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的增量.tJMdd由刚体定轴转动定律tLtJMddd)(dLJtMd)(dd21dtttM表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累,称为冲量矩.动量矩守恒定律:当刚体转动系统受到的合外力矩为零时，系统的动量矩守恒.三、动量矩守恒定律若，0M花样滑冰跳水运动员跳水注意1.对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变.2.动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界的一条普遍规律.则JL常量.moLL0Jωmlmlvv0（1）0v解：杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的反作用力过轴也无力矩.因此，球与杆在碰撞过程中，所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒.即：例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m’、长为2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆.有一质量为m的小球以与杆垂直的速度与杆的一端发