偏导数全微分

首页上页返回下页结束偏导数、全微分首页上页返回下页结束注:yx,2)专用于偏导数算符,与一元函数的导数符号dyddxd,相仿,但又有差别.(dxdf既表示对函数求导,f又可表示微商.而记号fx、fy不能理解为微分之商.)1)在偏导数定义中,f在点00,yx存在关于x(或)y的偏导数,f至少在00,,xxyyyx(或00,,yyxxyx)上必须有定义.首页上页返回下页结束偏导数记号是一个求证:1pTTVVp证:,VTRp,pTRVpTTVVp说明:(R为常数),Vp2VTRTVpRVpTR1不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,例.已知理想气体的状态方程首页上页返回下页结束偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;有关偏导数的几点说明：１)２)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义；).0,0(),0,0(,),(:yxffxyyxfz求设例解xxfxx0|0|lim)0,0(0000|0|lim)0,0(0yyfyy首页上页返回下页结束３)偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续一元函数中在某点可导连续多元函数中在某点可偏导连续自然,连续偏导数存在.例如,函数.),(22在原点连续但不可偏导yxyxf首页上页返回下页结束4.二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线yTM0在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线yxz0xyToxT0y0M对y轴的首页上页返回下页结束二、全微分定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点可表示成,)(oyBxAz其中A,B不依赖于x,y,仅与有关，称为函数),(yxf在点的全微分,记作yBxAyxfyxz),(d),(d0000若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点可微，处全增量则称此函数在D内可微.yBxA),(00yx00,yx),(00yx),(00yx首页上页返回下页结束(2)偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微),(lim0000yyxxfyx由微分定义,有得zyx00lim0),(00yxf函数在该点连续偏导数存在,即函数可偏导函数可微即首页上页返回下页结束定理(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数yyzxxzzdxz同样可证,Byz证:由全增量公式,0y令)(xoxA必存在,且有得到对x的偏增量xxx因此有xzxx0lim.A可微的条件首页上页返回下页结束反例:函数),(yxf易知,0)0,0()0,0(yxff但])0,0()0,0([yfxfzyx因此,函数在点(0,0)不可微.)(o注意:定理的逆定理不成立.22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数不一定可微!即:0,2222yxyxyx0,022yx首页上页返回下页结束]),([yyxxf定理12.1.2(充分条件)yzxz,证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx]),([yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf)],([yxf),(yyxfyyxfy]),([若函数的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微.0lim00yx,0lim00yx首页上页返回下页结束yyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数yx在点可微.0lim00yx,0lim00yx注意到,故有)(oxyxfx]),([yyxfy]),([),(),(yxfyyxxfz首页上页返回下页结束多元函数连续、可偏导、可微的关系：函数可微函数连续偏导数连续可偏导Seeproblem14,p.153首页上页返回下页结束xxu推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数),,(zyxfuud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分.zzuduzd的全微分为yyuzzu于是uuuzyxd,d,d首页上页返回下页结束例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:xz222)1,2(,)1,2(eyzexz例2.计算函数的全微分.解:udyyd)cos(221yz,yxeyyxexzyez