学生 第八章 应力状态分析和强度理论

第八章应力状态分析和强度理论§8–1应力状态的概念§8–2二向应力状态的解析法§8–3二向应力状态的应力圆§8–4三向应力状态简介§8–5广义虎克定律§8–6复杂应力状态下的变形比能§8–7强度理论的概述§8–8四种常用强度理论应力状态与强度理论强度条件是指构件不会失效或者处于安全应力状态的条件。从这些条件可以建立材料的工作应力和极限应力之间的关系。如果构件的危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，可通过试验确定其极限应力，再除以安全系数得许用应力。正应力强度条件：拉伸和压缩弯曲σWMσmaxmaxANmaxmax剪应力强度条件：扭转剪切QsFττAtWTmaxmax研究目的应力状态与强度理论对于复杂应力状态，试验本身比较复杂，且工作量繁重，很难直接测得极限应力。必须研究材料或构件在复杂应力状态下的破坏或失效规律。在静载荷和室温条件下，大多数材料有两种失效形式:脆性断裂塑性屈服强度理论：根据失效规律提出的关于引起材料破坏主要因素的种种假说或学说。利用简单应力状态的实验结果建立复杂应力状态的强度条件。应力状态与强度理论一、应力状态应力状态——在外力作用下，构件内任一点各个方向的应力情况称为该点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。围绕研究点截取出的无限小六面体。二、单元体概念：12特点：xxyxzyyxyzzzxzyxyz(1)边长：0;0;0dxdydz(2)应力均布(3)互相平行面上的正应力相等(4)满足剪应力双生互等定理§8–1应力状态的概念应力状态与强度理论例如图示矩形截面梁，为了研究某截面m-m上A、B和C三点的应力状态，取单元体如下：原始单元体：各侧面上的应力情况为已知应力状态与强度理论三、主单元体、主平面、主应力主面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主面上的正应力。主单元体(Principalbidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。主应力排列规定：按代数值大小，321123xzyxyz应力状态与强度理论单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：三个主应力中，只有一个数值不等于零的应力情况。111二向应力状态（PlaneStateofStress）：三个主应力中，只有两个数值不等于零的应力情况。21122四、应力状态分类例如前悬臂梁A点例如前悬臂梁B、C点三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力数值都不等于零的应力情况。3应力状态与强度理论举例：A点为单向应力状态PPAAXXPDD、E点为三向应力状态E快速加热或在高压液体中的钢球B、C点为二向应力状态MPxyzBCBCx应力状态与强度理论圆筒形薄壁容器侧壁上的应力状态有内压力为的流体，略去流体重量，壁厚远小于圆筒直径时，可认为壁内应力沿厚度均匀分布。ptD'Ap'4pDt2pDt容器侧壁上任意一点的应力情况属于二向应力状态横截面上的正应力，即轴向应力为纵截面上的正应力，即周向应力为应力状态与强度理论例如，用力P压于钢模内的橡胶圆柱，从E点取一单元体，它为三向应力状态应力状态与强度理论简化0,0zz一、二向应力状态的化简xyxyzxyOxxyxyxyOxyxy§8–3二向应力状态的解析法应力状态与强度理论二、任意斜截面上的应力规定：截面外法线同向为正；绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。应力状态与强度理论xyxyyxxx´y´yySx0xF设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：22coscossinsinsincos0xxyySSSSScos2sin222xyxyx考虑剪应力互等和三角变换，得：sin2cos22xyx同理：，得：0yF应力状态与强度理论两个解及表示两个主平面的位置，且它们相互垂直）0090三、正应力极值0|0dd令sin2cos202xyx022xxytg（等价于剪应力）0说明：的平面上，正应力为极值，即截面就是一个主平面，此时的就是一个主应力。0主平面位置：0——x轴与主平面外法线的夹角xx´y´yyxS应力状态与强度理论2222ixyxyxj正应力极值：(0)k讨论：200||45kji，，max1kji，，min31应力状态与强度理论3大偏大，小偏小偏向、中代数值较大的一边；ixy1)偏向、中代数值较小的一边；jxy2)ijxy4主应力、的方向由单元体上的应力情况直观判断。xy00453)ij时，，xyxyO主单元体'min'maxx应力状态与强度理论三、剪应力极值1|cos22sin20xyxdd122xyxtg1d|0d令2max2min2xyx其解及，表示最大及最小剪应力所在的平面也相互垂直。1190剪应力极值：（主剪应力方向可由单元体的主应力方向直观判断）应力状态与强度理论001000122(290)2(45)22xyxtgctgtgtgtg说明：最大、最小剪应力所在平面与主平面各成角。045四、互相垂直的两截面上的应力关系已知,,,2xyx得：cos2sin222xyxyxcos2sin222xyxyxxyij应力状态与强度理论例：分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力0yxPnxyWM222122xyyxyx）（2xyxyCyxMCxyOxyyx应力状态与强度理论22minmax2xyyx）（321;0;4522tg00yxxy0022tg11xyyxMPa300~198;MPa960~640MPa280~98:bybLb灰口铸铁低碳钢铸铁破坏分析MPa200;MPa240:ss低碳钢应力状态与强度理论0221xxytg0022.500090112.5xxiijj022.5xy例[1]已知图示单元体中求主应力大小及方向，并画出主应力单元体。40,0,20xyxyMPaMPa解：2222ixyxyxj8.3MPa48.3MPa1238.3,0,48.3MPaMPaxxxy应力状态与强度理论例[2]已知矩形截面梁某横截面上的弯矩及剪力分别为M＝10KN·m，Q＝120KN，试绘出下图所示截面上1，2，3，4各点应力状态的单元体，并求其主应力。zQ251234x100hM1234解：第一点：3291010120150100106xxMMPaW0x主应力：130,120MPa（单向受压应力状态）应力状态与强度理论2第二点：0x36331201036225010010xQMPaA第三点：3主应力：212322xyxyx36xMPa36xMPa3331210102510601501001012xzMyMPaJ*3931212010502537.51027150501001012zxzQSMPabJ（纯剪切应力状态）应力状态与强度理论主应力：2123606027(3040.4)22MPa1370.4,10.4MPaMPa第四点：3（二向应力状态）120xMPa0x13120,0MPa（单向受拉应力状态）主应力：4应力状态与强度理论2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（StressCircle）xyxxyyOyxyxxyOn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）§8–4二向应力状态的应力圆应力状态与强度理论222222xyyxyx应力圆应力状态与强度理论二、应力圆的画法点面对应；转向一致；转角二倍。应力状态与强度理论四、在应力圆上标出极值应力应力状态与强度理论223122xyyxyxROC）（半径22minmaxminmax22xyyxR）（半径OCA(x,xy)B(y,yx)x21minmax20123应力状态与强度理论312BAC20例3求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150°AB12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0(MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点应力状态与强度理论312BAC20(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图0,20,1203213004532532595150°102AB应力状态与强度理论2cos2sin2xyyx4532532595150°解法2—解析法：分析——建立坐标系如图xyyxyMPa325MPa45?x222122xyyxyx）（60°606095MPa253MPa；xyOcos2sin222xyxyx应力状态与强度理论由平衡原理推导得：222123lmn2222222123lmn其中：n——斜截面外法线方向一、三向应力状态任一斜截面上的应力公式§8–4三向应力状态简介coscoscosnml，，应力状态与强度理论二、正应力的极值由、的公式可以证明：max1min3应力状态与强度理论•应力圆Ⅰ表示与相平行的各斜截面上的应力•应力圆Ⅱ表示与相平行的各斜截面上的应力•应力圆Ⅲ表示与相平行的各斜截面上的应力•与与三个主应力都不平行的任意斜截面上的应力的K点，必落在三个圆所构成的蓝色区域内123应力状态与强度理论二、最大剪应力123max231max应力状态与强度理论其它两个主应力在xy平面上是一个主应力z80MPa50MPaxyz0z解：三个主平面两两正交225022ixyxyxjMPa123805050MPaMPaMPa，，max13max80,652MPaMPa例[3]已知50,0,80,0xyxyzzMPaMPa求：maxmax,xyO50xMPaiij