§2 矩阵的运算

§2矩阵的运算一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵乘法四、矩阵的转置五、方阵的行列式六、伴随矩阵１、定义mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为nm),(),(ijijbBaAABBA)(ijbaBAij(2)矩阵的加法即为对应位置元素相加，可推广至有限个同型矩阵相加.(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.说明:例如12345698186309153121826334059619583112.986447411132、矩阵加法的运算规律;)1(ABBA.)()()2(CBACBAmnmmnnaaaaaaaaaA112222111211.)(OAA显然),(ija3、矩阵A的负矩阵A.)(BABA4、矩阵减法1、定义.212222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA二、数与矩阵相乘规定为或的乘积记作与矩阵数,AAA.)(ijaA例如:446222312注意矩阵数乘与行列式运算的差异.例如:1131844312446211314223124462;)()()1(AA;)()2(AAA.)()3(BABA2、数乘矩阵的运算规律(设为矩阵，为数),nmBA、矩阵加法与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算..,531423,531632,)(2)(3CBACBCACBA求其中满足等式、、设矩阵例131210C三、矩阵与矩阵乘法定义skkjiksjisjijiijbabababac12211,,,2,1;,2,1njmi并把此乘积记作.ABC设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中)(ijaAsm)(ijbBnsnm)(ijcCAB例１222263422142C221632816设415003112101A121113121430B例2?故121113121430415003112101ABC.解,)(43ijaA,34)(ijbB.)(33ijcC567102621710注意(1)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如不存在.(2)乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数，乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.例3123321132231.10上面左端两个矩阵交换相乘怎样?.10321123321642963cBAss11)3(ssssCBA11)4(——一个数——s阶方阵tstsCBA11——st阶矩阵3、矩阵乘法的运算规律;)()()1(BCACAB,)()2(ACABCBA;)(CABAACB)()()()3(BABAAB(其中为数);nmmnAAAEAE其中;)4(nmAAEAAE其中简写为;例4105212131,123102BA,2116367AB.无意义BABAAB例5.121121,111111BA000000000AB.2222BA与均有意义但不同阶，故ABBABAAB,33O例6设1111B1111A则：20000OBA,2222AB与均有意义且同阶，但有ABBABAAB则有：,AB2222BA2222.BAAB,2002A,1111B例7设以上几例可以说明：(1)矩阵交换律不满足，即：,BAAB1)矩阵乘法需注意顺序(有左乘、右乘之分)：AX——用A左乘X.XA——用A右乘X.2)定义：若AB=BA,则称A与B可交换.(2)1)矩阵乘法有零因子..,,,,的右零因子为的左零因子为则称若时当ABBAOABOBOA即：两个非零矩阵之积可以为零矩阵.2)矩阵乘法不满足消去律.即矩阵运算不象数的运算那样,可以约去“非零”项或交换乘积.a)由AB=O推不出A=O或B=O;b)A(XY)=O,AO推不出X=Y.(3)矩阵没有除法..1没有意义或即ABA4.方阵的幂连乘个为方阵设AkkAAAAA,,lklkAAAkllkAA)(,BAAB由于一般有.kkkBAAB：故一般地.kkkBAABBAAB＝时，才有只有当例8.,000000)2(kAcbaA求设.))((.2)()1(22222BABABABABABA??定义把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作.A例,854221A;825241TA.618TB,618B１、转置矩阵四、矩阵的转置2、转置矩阵的运算性质;)()1(AATT;)()2(TTTBABA;)()3(TTAA.)()4(TTTABABTABC)(可推广TCTB.TA例10已知,102324171,231102BA.TAB求解法1102324171231102AB,1013173140.1031314170TAB解法2TTTABAB213012131027241.10313141703、对称阵定义设A为n阶方阵，如果满足,即那末A称为对称(矩)阵.TAAn,,,j,iaajiij21.A为对称阵例如6010861612对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明定义.031302120为反对称阵例如B设B为n阶方阵，如果满足,即那末A称为反对称(矩)阵.BBTnjiaajiij,,2,1,例11设列矩阵满足TnxxxX,,,21,1XXT.,,2,EHHHXXEHnETT且阵是对称矩证明阶单位矩阵为证明TTTXXEH2TTTXXE2,2HXXET.是对称矩阵H2HHHT22TXXETTTXXXXXXE44TTTXXXXXXE44TTXXXXE44.E例12证明任一n阶矩阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明TAAC设TTTAAC则AAT,C所以C为对称矩阵.,TAAB设TTTAAB则AAT,B所以B为反对称矩阵.22TTAAAAA,22BC命题得证.五、方阵的行列式1、定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式,叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.,8632A例.28632||A则2、运算性质(设A、B均为n阶方阵);||||)1(AAT;||||)2(AAn._______|2|,3||,3AAA－则阶方阵为例.||||,)2BAABBAAB但有注意||||||)1BABA24;||||||)3(BAAB六、伴随矩阵定义行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质.EAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵.证明nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann1112121111AAaAaAannnnnnnn2211,AAAAOOEA.,010301021*AA求例思考题问等式阶方阵为与设,nBABABABA22成立的充要条件是什么?思考题解答答,22BABBAABABA故成立的充要条件为BABABA22.BAAB