灰色关联分析

第三章灰色关联分析模型张娜第一节灰色关联因素和关联算子集第二节灰色关联公理与灰色关联度第三节广义灰色关联度第四节关联序第五节优势分析2020年1月29日星期三2第三章灰色关联分析模型系统可分为灰色系统、白色系统和黑色系统。白色系统是指一个系统白内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它同外界的联系来加以观测研究。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。2020年1月29日星期三3第三章灰色关联分析模型数理统计中的回归分析、方差分析、主成分分析等都是用来进行系统分析的方法。这些方法都有下述不足之处：2020年1月29日星期三4第三章灰色关联分析模型（1）要求有大量数据，数据量少就难以找出统计规律。（2）要求样本服从某个典型的概率分布，要求各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且各因素之间彼此无关。这种要求往往难以满足。（3）计算量大，一般要靠计算机帮助。（4）可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象，导致系统的关系和规律遭到歪曲和颠倒。尤其是我国统计数据十分有限，而且现有数据灰度较大，再加上人为的原因，许多数据都出现几次大起大落，没有什么典型的分布规律。因此采用数理统计方法往往难以奏效。2020年1月29日星期三5第三章灰色关联分析模型灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法进行系统分析所导致的缺憾。它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现理化结果与定性分析结果不符的情况。灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。2020年1月29日星期三6第三章灰色关联分析模型对一个抽象的系统或现象进行分析，先要选准反映系统行为特征的数据序列，称为找系统行为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为。例如，用国民平均接受教育的年数来反映教育发达程度，用医院挂号次数来反映国民的健康水平等。有了系统行为特征数据和相关因素的数据，即可相应地绘制各个序列的拆线图，从直观上进行分析。例如，某地区农业总产值X0、种植业总产值X1、畜牧业总产值X2和林果业总产值X3，1997-2002年的统计数据如下：2020年1月29日星期三7第三章灰色关联分析模型X0=(18,20,22,35,41,46)，X1=(8,11,12,17,24,29)X2=(4,3,5,6,11,7)，X3=(6,6,5,12,6,10)各序列Xi(i=0,1,2,3)的曲线如图1所示。19971998199920002001200201020304050X0X1X2X3图1Xi曲线2020年1月29日星期三8第一章灰色关联分析模型从直观上看，与农业总产值曲线最相似的是种植业产值曲线，而畜牧业产值曲线和林果业产值曲线与农业总产值曲线在几何形状上判别较大。因此可以说该地区的农业仍然是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。根据实际问题的需要，还可以进一步进行量化研究分析。19971998199920002001200201020304050X0X1X2X3进行系统分析，选定系统行为特征的映射量后，还需进一步明确影响系统主行为的相关因素。如果系统行为特征映射量和各个相关因素的意义、量纲完全相同，可以直接据以对它们之间的关系进行分析。当系统行为特征映射量和各个相关因素的意义、量纲不同时，如要作进一步的量化研究分析，则需对系统行为特征映射量和各个相关因素进行适当处理，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。2020年1月29日星期三93.1灰色关联因素和关联算子集定义1设Xi为系统因素，其在序号k上的观测数据为xi(k)，k=1,2,…,n，则称Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))为因素Xi的行为序列。2020年1月29日星期三103.1灰色关联因素和关联算子集若k为时间序号，xi(k)为因素Xi在k时刻的观测数据，则称Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))为因素Xi的行为时间序列。2020年1月29日星期三113.1灰色关联因素和关联算子集若k为指标序号，xi(k)为因素Xi关于第k个指标的观测数据，则称Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))为因素Xi的行为指标序列。若k为观测对象序号，xi(k)为因素Xi关于第k个对象的观测数据，则称Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))为因素Xi的行为横向序列。2020年1月29日星期三123.1灰色关联因素和关联算子集例如，当Xi为经济因素时，若k为时间，xi(k)为因素Xi在时刻k的观测数据，则Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))是经济行为时间序列；若k为指标序号，则Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))是经济行为指标序列；若k为不同经济区域或经济部门的序号，则Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))为经济行为横向序列。无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可以用来作关联分析。2020年1月29日星期三133.1灰色关联因素和关联算子集定义2设Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))为因素Xi的行为序列，D1为序列算子，且XiD1=(xi(1)d1,xi(2)d1,…,xi(n)d1)其中Xi(k)d1=xi(k)/xi(1),xi(1)≠0,k=1,2,…,n则称D1为初值化算子，XiD1为Xi在初值化算子D1下的像，简称初值像。（3-1）2020年1月29日星期三143.1灰色关联因素和关联算子集例1设序列X=(3.2,3.7,4.5,4.9,5.6)，求其初值像序列。根据式（3-1），有x(1)d1=x(1)/x(1)=1,x(2)d1=x(2)/x(1)=3.7/3.2=1.5625同理可以求得x(3)d1=1.40625,x(4)d1=1.53125,x(5)d1=1.75因此有XD1=(x(1)d1,x(2)d1,x(3)d1,x(4)d1,x(5)d1)=(1,1.156,1.40625,1.53125,1.75)2020年1月29日星期三153.1灰色关联因素和关联算子集定义3设Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))为因素Xi的行为序列，D2为序列算子，且XiD2=(xi(1)d2,xi(2)d2,…,xi(n)d2)其中则称D2为初值化算子，XiD2为Xi在均值化算子D2下的像，简称均值像。211,(),1,(2)),(,niiiiikxkXkdXxkknXn（3-2）2020年1月29日星期三163.1灰色关联因素和关联算子集例2设序列Xi=(3.2,3.7,4.5,4.9,5.6)，求其均值像序列。根据式（3-2），有5211()4.38,(1)(1)/0.735kXxkxdxX(2)2(2)/0.84xdxX同理可求得x(3)d2=1.03,x(4)d2=1.12,x(5)d2=1.28因此有XD2=(x(1)d2,x(2)d2,x(2)d2,x(2)d2,x(2)d2)=(0.73,0.84,1.03,1.12,1.28)2020年1月29日星期三173.1灰色关联因素和关联算子集3()min()(),1,2,,max()min()iikiiikkxkxkxkdknxkxk定义4设Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))为因素Xi的行为序列，D3为序列算子，且XiD3=(xi(1)d3,xi(2)d3,…,xi(n)d3)其中则称D3为区间值化算子，XiD3为Xi在区间值化算子D3下的像，简称区间值像。（3-3）2020年1月29日星期三183.1灰色关联因素和关联算子集min()3.2,max()5.6kkxkxk例3设序列X=(3.2,3.7,4.5,4.9,5.6)，求其区间值像序列。显然有根据式（3-3）可以求得x(1)d3=0,x(2)d3=0.208,x(3)d3=0.542,x(4)d3=0.0.708,x(5)d3=1因此有XD3=(x(1)d3,x(2)d3,x(3)d3,x(4)d3,x(5)d3)=(0,0.208,0.542,0.708,1)193.1灰色关联因素和关联算子集（3-4）2020年1月29日星期三203.1灰色关联因素和关联算子集命题2任意行为序列的区间值像有逆化像。事实上，区间值像中的数据皆属于[0,1]区间，故可以定义逆化算子。定义6设Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))为因素Xi的行为序列，D5为序列算子，且XiD5=(xi(1)d5,xi(2)d5,…,xi(n)d5)其中xi(k)d5=1/xi(k),xi(k)≠0，k=1,2,…,n则称D5为倒数化算子，XiD5为行为序列Xi在倒数化算子D5下的像，简称倒数化像。（3-5）2020年1月29日星期三213.1灰色关联因素和关联算子集命题3若系统因素Xi与系统主行为X0呈负相关关系，则Xi的逆化算子作用像XiD4和倒数化算子作用像XiD5与X0具有正相关关系。定义7称D5={Di|i=1,2,3,4,5}为灰色关联算子集。定义8设X为系统因素集合，D为灰色关联算子集，称(X,D)为灰色关联因子空间。2020年1月29日星期三223.2灰色关联公理与灰色关联度定义1设X0=(x0(1),x0(2),…,x0(n))为系统特征行为序列，且X1=(x1(1),x1(2),…,x1(n))……Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))……Xm=(xm(1),xm(2),…,xm(n))为相关因素序列。给定实数γ(x1(k),xi(k))，若实数2020年1月29日星期三nkiikxkxnXX100))(),((1),(233.2灰色关联公理与灰色关联度2020年1月29日星期三满足（1）规范性0γ(X0,Xi)≤1,γ(X0,Xi)=1X0=Xi（2）整体性对于Xi,Xj∈X={Xs|s=0,1,2,…,m;m≥2}，有γ(Xi,Xj)≠γ(Xj,Xi),i≠j（3）偶对对称性对于Xi,Xj∈X，有},{X),(),(jiijjiXXXXXX243.2灰色关联公理与灰色关联度2020年1月29日星期三（4）接近性|X0(k)-xi(k)|越小,γ(x0(k),xi(k))越大则称γ(X0,Xj)为Xi与X0的灰色关联度，γ(x0(k),xi(k))为Xi与X0在k点的关联系数，并称条件(1)~(4)为灰色关联四公理。在灰色关联公理中，γ(x0(k),xi(k))∈(0,1]表明系统中任何两个行为序列都不可能是严格无关联的。整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色关联度也随之变化，因此对称原理不一定满足。253.2灰色关联公理与灰色关联度2020年1月29日星期三偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只有两个序列时，两两比较满足对称性。接近性是对关联度量化的约束。定理1设系统行为序列X0=(x0(1),x0(2),…,x0(n))X1=(x1(1),x1(2),…,x1(n))……Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))……Xm=(xm(1),xm(2),…,xm(n))263.2灰色关联公理与灰色关联度2020年1月29日星期三对于ξ∈(0,1)，令则γ(X0,Xi)满足灰色关联四公理，其中ξ称为分辨系数。称γ(X0,Xi)为X0与Xi的灰色关联度。灰色关联度γ(X0,Xi)常简记为γ0i,k点关联系数γ(x0(k),xi(k))简记为γ0i(k)。)()(maxmax)()()()(maxmax)()(minmin))()((00000kxkxkxkxkxkxkxkxkx,kxikiiikiikii（3-1）00k11()=((),())nii=X,Xxkxkn（3-2）273.2灰色关联公理与灰色关联度20