带电粒子在有界磁场中极值问题

极值问题1.容易混淆点是：有界磁场的圆形区域与粒子运动径迹的圆弧．注意区别轨迹半径R与磁场圆半径r。2.理解关键词：以题中“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，利用数学方法求解极值等3．常用结论如下：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与磁场边界相切．(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(3)当速率v变化时，圆周角大的，对应的运动时间也越长．(4)从同一直线边界射入又从从同一边界射出的粒子，速度与边界的夹角相等；圆形磁场区域沿径向射入的粒子必沿径向射出。一、平移法带电粒子以大小不变的速度v0沿任意方向垂直射入匀强磁场时，将在磁场中做匀速圆周运动，圆周运动半径为R＝mv0/(qB)，其轨迹半径相同因此可以得到一种确定临界条件或极值的方法：可以将半径为R＝mv0/(qB)的轨迹圆平移，从而探索出临界条件或极值，这种方法称为“平移法”．4.临界极值问题的思维方法及规律量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态提示：准备圆规或一元硬币等、动手画轨迹图找临界、极值等规律二、缩放圆法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大．可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP′上．θθθθθ2.从同一直线边界射入又从同一边界射出的粒子，速度与边界的夹角相等，粒子在磁场中运动时间相同1.粒子的运动轨迹是内切圆，圆心在垂直速度的直线上SvvBPSvSQPQQ圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上圆心在过入射点跟边界垂直的直线上圆心在磁场原边界上量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态P刚好穿出或穿不出磁场边界的临界条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与磁场边界相切圆形磁场临界点临界点临界点变化1：在上题中若电子的电量e，质量m，磁感应强度B及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度v0满足什么条件？Bev0d小结：临界问题的分析方法1、理解轨迹的变化（从小到大）2、找临界状态：（切线、找圆心、求半径等）变化2：若初速度向下与边界成α=60度角，则初速度满足什么条件？Bv0变化3：若初速度向上与边界成α=60度角，则初速度满足什么条件？Bv轨迹圆轨迹圆心圆三、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小v0相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。dm-qAvOαRd对象模型：质点过程模型：匀速圆周运动规律：牛顿第二定律+圆周运动公式条件：要求时间最短wa==vst速度v不变，欲使穿过磁场时间最短，须使s有最小值，则要求弦最短。例一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为d。在垂直B的平面内的A点，有一个电量为－q、质量为m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（已知mv/Bqd）dm-qAvθO中垂线θ与边界的夹角为（90º－θ）BqmvdBqm2arcsinRvt===2qw2qmvdBqRd22/sin==q例一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为d。在垂直B的平面内的A点，有一个电量为－q、质量为m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（已知mv/Bqd）例、如图，半径为r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与ao的夹角表示）？最大偏转角多大？R=mv/Bq=5×10－2mrOaBv0bααRr说明：1.本题中，由于是两圆相交，两个交点的连线同时是两个圆的弦。2.轨道圆半径确定时，弦线越长，通过的弧越长，偏转角度也越大。R=mv/Bq=5×10－2mr解析：OaBv0bααRr得a=37º，sina=r/R最大偏转角为2a=74º。例、如图，半径为r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与ao的夹角表示）？最大偏转角多大？变式：如图所示，一带负电荷的质点，质量为m，带电量为q，从M板附近由静止开始被电场加速，又从N板的小孔a水平射出，垂直进入半径为R的圆形区域匀强磁场中，磁感应强度为B，入射速度方向与OP成45°角，要使质点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差U为多少？例、如图，带电质点质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。yOaxbv02RBOrrMN解：质点在磁场中圆周运动半径为r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是1/4圆周，如图中M、N两点间的圆弧。在通过M、N两点的不同的圆中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。圆形磁场区域的最小半径qBmvMNR221==例、如图，质量为m、带电量为+q的粒子以速度v从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30º，同时进入场强为E、方向沿与与x轴负方向成60º角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的C点。不计重力，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）C点到b点的距离h。vyxEbO30°60°vhAO2O1vyxEbO30°60°vhAO2O1解：(1)反向延长vb交y轴于O2点，作∠bO2O的角平分线交x轴于O1，O1即为圆形轨道的圆心，半径为R=OO1=mv/qB，画出圆形轨迹交bO2于A点，如图虚线所示。最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图示：Smin=r23m2v24q2B2=OA=2rqBmv3=hsin30º=vthcos30º=21qEm·t2(2)b到C受电场力作用，做类平抛运动得t=2mv/qE·tan30ºqEmvvth/3422==故例3．如右图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是(其中B0＝mv0qL，A、C、D选项中曲线均为半径是L的14圆弧，B选项中曲线为半径是L2的圆)()A平移法平移法例1.在真空中，半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s的速度从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则(1)粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？(2)若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？圆形磁场R：轨迹半径r＞R,v大小不变，则一个周期内弦长越长时间t越长，此时轨迹圆的最大弦长L=2RRr例.在真空中，半径为r=1×10-1m的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度v0=1.0×106m/s从磁场边界上直径ab一端a点处沿各个方向射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则(1)粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？(2)求粒子可能飞离圆形磁场区域边界上的圆弧范围及弧长大小？圆形磁场R：轨迹半径r﹤R,v大小不变，则粒子可能一直在磁场中运动，因此问题通常是可以穿出的范围拓展1.如图边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场.已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T/2(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（）o，ABC小结：当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．【变式】如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的2a2a(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦．同时进入磁场最长时间t=T/4弦长最长分析：本题是粒子以一定速度沿任意方向射入磁场的问题，做出轨迹圆心圆（如虚圆），再做动态圆，找临界状态。最后离开磁场的粒子在磁场中的圆周运动的弦最长，经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．则粒子速度方向改变900粒子也即粒子半径转过的最大圆心角为900在动态圆中与边界相切的这种情况弦最长，对应的圆心角为900，最后射出磁场【解析】(1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB=m①由①式得R=②当a/2Ra时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的上边界相切，2vRmvqB如右图所示，设该粒子在磁场运动的时间为t，依题意t=T/4，得∠OCA=③设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为a，由几何关系可得Rsina=R-④Rsina=a-Rcosa⑤又sin2a+cos2a=1⑥由④⑤⑥式得R=(2-)a⑦由②⑦式得v=(2-)⑧(2)由④⑦式得sina=⑨22a6262aqBm6610练习.如右图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是()A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为5t0/3B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为t0C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为5t0/3D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为t0/3[解析]作出从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.如图可知，从ab边射出经历的时间一定不大于5t06；从bc边射出经历的时间一定不大于4t03；从cd边射出经历的时间一定是5t03；从ad边射出经历的时间一定不大于t03.所以选择C正确．[答案]C例、如图，质量为m、电量为q的正离子，从A点正对圆心O以某一速度射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电