1.2正余弦定理应用举例

1.2正余弦定理应用举例复习、请回答下列问题：（1）解斜三角形的主要理论依据是什么？（2）关于解三角形，应该掌握了哪几种类型？复习.下列解三角形问题,分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？第4小题A变更为A=150o呢？_____________________余弦定理先求出A,或先求出B,C正弦定理先求出b正弦定理先求出B(60o或120o)无解（1）a=2,b=,c=3+；（2）b=1，c=，A=105º；（3）A=45º，B=60º，a=10；（4）a=2，b=6，A=30º.23633__________________________________________________________________________________________________________________________________余弦定理先求出a:正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用;)1(测量距离;)2(测量高度.)3(测量角度包含不可达到的点要测量不可到达的两点间的距离,可用哪些方法?如图:设A、B两点在河的两岸，怎样测量两点之间的距离?AB方案一:构造直角三角形AB在河岸的一侧取一点C,使得AC⊥BCC若能测得AC的长及∠BAC,那么AB即可求出此方案有缺限吗?例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=510,∠ACB=750.求A、B两点的距离(精确到0.1m)ABC练习1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是。ACB60°75°答：65海里解：应用正弦定理，C=45BC/sin60=10/sin45BC=10sin60/sin45例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。..AB..DC基线练习2、为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1公里长的基线CD，并测得∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B两点的距离.ABCDABCD分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利用其一可求AB。∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，略解：Rt△ACD中，AD=1/cos30o△BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。由余弦定理在△ABD中可求AB。)913.0630(AB练习：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75°，航行20海里后，见此岛在北偏东30°，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。2ABCM北北220解：在△ABC中∠ACB=120°∠ABC=15°由正弦定理得：sin15sin45ACBC由BC=20,可求AC∴得AM=≈8.978265215∴无触礁危险ABCM北北2207530思考如何测量地球与月亮之间的距离?AB背景资料早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出α,β的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.例3:如图:甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？3021A2B1022A1B1A2A1B2B1201051、分析题意，弄清已知和所求；2、根据提意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；4、正确运用正、余弦定理。小结：求解三角形应用题的一般步骤：实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明几个概念：•仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;•俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；•方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。N方位角60度水平线目标方向线视线视线仰角俯角方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30度,南偏西45度.问题.AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。ABCD例4.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是α=35°12′和β=49°28′，CD间的距离是11.12m．已知测角仪器高1.52m，求烟囱的高．2135082490m12.11m52.1,2135,01111DBCDBC已知中在B1AA1C1DDC2135082490m52.1m12.11BA1求:解,231301800011BDCBDCBCBDCDC1111111sinsin根据正弦定理得,30.346114sin23130sin12.11001BC6114011BDC,11中在BCARt,77.192135sin011BCBA.29.21m故烟囱的高度为练习4、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是和4560，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想实例讲解AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184.2836182211BCBA)(9.295.14.2811mAABAAB答：烟囱的高为29.9m.例5、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角,在塔底C处测得A处的俯角已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)'04054'0150如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得,并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．BCDBDCCDs，，例6、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD.例7、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东750的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东320的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.10,距离精确到0.01nmile)ABC075032练习7、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为10nmile的Ｃ处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以９nmile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１nmile/h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°,时间精确到１min）北北ＡBC105°方位角：指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角．北北ＡBC105°解：设舰艇收到信号后xh在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝21x，ＢＣ＝９x，又AC=10,∠ACB=45°+(180°－105°)=120°.由余弦定理，得：2,ABACB22=AC+BC-2ACBCcos即222(21)10(9)2109cos120xxx化简得：2369100xx解得：x=２／３（h）=40(min)(负值舍去）由正弦定理，得143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC所以∠ＢＡＣ≈21.8°，方位角为45°+21.8°=66.8°答：舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行，经过４０min就可靠近渔轮．练习:一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东150相距20km处,随后货轮按北偏西300的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东450的方向上,求货轮的速度.MSN015030045练习：勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角分别是29度和38度，两个观察点之间距离是200m,求山的高度。练习：3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。引例在△ABC中,已知a,b及C,求△ABC的面积.ABCD结论:三角形的面积公式:CabSsin21BacSsin21AbcSsin21例8、在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2)(1)已知a=4,c=6,B=300;(2)已知B=450,C=750,b=;(3)已知a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.2例9、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2)例10.在△ABC中,求证:;sinsinsin)1(222222CBAcba)coscoscos(2)2(222CabBcaAbccba.,:系或者全部转化为角的关化为边的关系全部转系恒等式证明三角形中的边角关1.已知△ABC中,∠B=300,b=6,c=6,求a及△ABC的面积.32：判断满足下列条件的三角形形状，BABACcoscossinsinsin补充练习小结结论:三角形的面积公式:CabSsin21BacSsin21AbcSsin21海伦公式:)(21))()((cbapcpbpappS三角形内切圆半径是其中rrcbaS,)(2121sinsin2sinBCSaA222()ABCSABACABAC22222221()42cabSca4abcSR练习.如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC,问:点B在什么位置时,四边形OACB的面积最大?最大面积为多少?AOBC