三角形各种心的性质归纳

1三角形各种心的性质研究一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨．1．重心：设G是ABC的重心，AG的延长线交BC于D，则，DCBD)1(，（2）3:2:ADAG；（3）4222222BCACABAD，（4）3ABCGBCSS．2.外心：设⊙O（R）是ABC的外接圆，BCOD于D交⊙O于E，则（1）ROCOBOA；（2）ABOC2或)180(20A；（3）DCBD⌒BE=⌒EC；（4）CBARRabcSABCsinsinsin24（正弦定理）3.内心：设ABC的内心圆⊙I（)r切边AB于P，AI的延长线交外接圆于D，则（1）ABIC2190;(2)acbaacbArAP)(21221cot；(3)DCDIDB；(4)2)(cbarSABC;4.垂心：设HGO,,分别是ABC的外心，重心，垂心，BCOD于D，AH的延长线交外接圆于1H，则，（1）ODAH2；（2）H与1H关于BC成轴对称；（3）⊙BCH⊙ABC；（4）,,,HGO三点共线，且2:1:GHOG；5．旁心：设ABC在A内的旁切圆⊙1I（)1r与AB的延长线切于1P，则，（1）ACBI219001；（2）2211cbaActgrAP；（3）21cbaBP；（4）21CBAI；（5）2)(1acbrSABC6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在△ABC中，内切圆⊙O分别与三边相切于点KM,L，BC边上的帝切圆⊙aO与BC边切于点H，且分别与AB边和AC这的延长线相切于点Q、点P．设三边BC、CA、AB分别为cba,,，CBA,,分别为,,，)(21cbap，内切圆半径为r，旁切圆半径分别为cbarrr,,，外接圆半径为R，三角形面积为S，则有如下关系式：（1）pAP，apAK，cbLH；（2）aprpra；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）))((1cpbprra；（5）cbarrrr1111；（6）2tan2tanrra7．界心如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间．三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）．三角形的周界中线交于一点．定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心．二、例题分析例1．设△ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，60B，CA，A的外角平分线交圆O于E，OBACIMFE2证明：（1）AEIO；（2）RICIAIOR)31(2．【证明】（1）延长BI交外接圆于M，连结AmOMOA,,，易知60BAOM，故△AOM为正三角形，∴CMAMOAOM．易证MAIMIA，∴MIMA．同理，MIMC，即CIOA,,,在以M为圆心，R为半径的圆上，设AI的延长线交⌒BC于F，则AF、AE分别为A的内、外角平分线，90EAF，即EF为⊙O的直径，∴AOEOFIOAI21．又在⊙M中，OMIOAI21，∴OMIAOE，但⊙M与⊙O为等圆，故OIAE．（2）连接FC，同上易证FCIF，又60ABCIFC，∴△IFC为等边三角形，IFIC∵)60(21)(212121CAMOAMIOMIAOEAFE，记AFE为∴AFAEAFIAAEICIAIO)cos(sin2cos2sin2RRR)152sin(22)45sin(22CRR由CA知，12060C，从而有602130C，即75152145C∴75sin2245sin22RICIAIOR，又46275sin，故RICIAIOR)31(2．例2．锐角△ABC的外心为O，线段BCOA,的中点分别为M、N．，OMNABC4OMNACB6．求OMN．【解】设OMN，则4ABC，6ACB，10180)(180ACBABCBAC又1018021BACBOCNOC；82ABCAOCMOC从而2180)10180(8MONOMNOMNMONONM)2180(180)(180即OMN为等腰三角形，OCOAOMON2121∵90ONC，∴60NOC，又∵10180NOC，∴12OMN例3．如图IO,分别为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高。I在线段OD求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。证明（1）记bCAaBCcAB,,，设AI的延长线交△ABC的外接圆O于K，则OK是圆O的半径，记为R，因为OK⊥BC，所以OK∥AD，从而ABCKOIDOABCMN3CBRBcIKAIsinsin2sin(1)ABI=2BIBC，CBK=2ACAK，∠AKB=∠CACB，∠2ABAK，所以2sin212sin21BABIBKBBIABSSIKAIKBIABI2sin2sin2sin22cos2sin2sinsin2cos2sinACBCBACCBBKAB（2）由（1）、（2）得2sin2sin2sin2sinsin2ACBCB，所以12cos2cos2sin4CBA设△ABC的BC边上的旁切圆半径为ar，则)(21sin21acbrSAbcaABC。所以ACBCBARacbAbcrasinsinsinsinsinsin2sin2cos2sin22cos2sin2sinsinsin2CBCBCBCBCBARRCBARCBCBCBAR2cos2cos2sin42sin2sin22sinsinsinsin，即△ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径。证明（2）记bCAaBCcAB,,，△ABC的BC边上的旁切圆半径为ar，△ABC的BC边上的高为ah，设AI交BC于P，交外接圆于K，连BK，OK⊥BC，ROK，cbabPC，IKBK，△AKB∽△ACP，又由AD⊥BC，知OK∥AD，有IKAIOKAD，即BKAKIKAKOKOKAD,但△AKB∽△ACP，有acbcbabbPCACBKAK，代入上式，得acbRRha，aABCaracbSacbahR2即△ABC的外接半径等于BC边上的旁切圆半径。证明（3）bCAaBCcAB,,，△ABC的BC边上的旁切圆半径为ar，△ABC的外接半径R，作1II⊥BC于1I，1OO⊥BC于1O。∵∠OAC=ABC∠902∠1800AOCBAD∠∴DAI∠OAI∠，∴111OIDIIODIAOAD。BcbcaBDBIDIcos211aacbcbacbabca2))((222222221111cbbcaaBIBOOI，∴acbSacbaADAORaacbAOADABC2,又)(21acbrSaABC，∴aaracbacbrR)(。证明（4）记bCAaBCcAB,,，设AI的延长线交△ABC的外接圆O于K，连OK交BC于1O，则OK⊥BC，作1II⊥BC于1I，则AD∥1II∥OK，由OID,,三点共线，∴OKADIODIOIDI111，∵BcbcaBDBIDIcos211aacbcbacbabca2))((22222AOIBCDI1O142221111cbbcaaBIBOOI，∴RADaacb，故acbSacbaADRABC2，又)(21acbrSaABC，∴aaracbacbrR)(。证明（5）连AI并延长交△ABC的外接圆O于K，设O旁切圆圆心，则O在AK的延长线上，连OK，过O作MO⊥BC于M。连OM，MK，BI，CI，BO，CO，则OK，MO分别为外接圆半径及旁切圆半径。又OCIB,,,四点共圆。CKIKBK，设K为OBIC的外接圆的圆心，即KOIK。又POIPPCBPPKAP，∴APPOIPPK，又AD∥MO，∴DPMPAPPOIPPK，∴MK∥ID，∠PMK=∠IDP，而OID,,共线，OK⊥BC，MO⊥BC，∴OK∥MO，故∠IOK=∠OKM，∠OKI=∠KOM，KOIK，∴OMKOIK，故OK=MO，即arR例4．设M是△ABC的AB边上作一内点，rrr,,21分别是△AMC、△BMC、△ABC的内切圆半径；qqq,,21分别是这些三角形在ACM、BCM、ACB内的旁切圆半径．试证：qrqrqr2211．【证明】设AMCBCAABCCAB,,,又设△ABC的内切圆的圆心为R，且与AB切于P（如图），于是2BPRAPR，从而有：)2cot2(cot2cot2cotrrrAB由于三角形的角的内、外平分线互相垂直，因而类似地有：)2tan2(tan2tan2tanqqqAB进而有：2tan2tan2cot2cot2tan2tanqr；类似的结论对于△AMC和△BMC也成立，故有2tan2tan11qr和2tan2tan22qr，以上式子相乘即可得结论：qrqrqr2211．例5．设I为△ABC的内心，其△ABC内切圆切三边BC、CA和AB于点K、L、M，过点B平行于MK的直线分别交直线LM和IK于点R和S．求证：RIS为锐角．【证明】为了证RIS为锐角．由余弦定理，只要证0cos2222RISSIRIRSSIRI．为此我们来计算222RSSIRI。由MK∥RS，考虑△BMR及△BSK，于是)(21CLMKMRB．同理：)(21AAMLRMB，ABCKOICABRPMABCIKMLRS5而)(21)(21BACRMBMRBMBR，同理：)(21ALKMKSB)(21CLKCSKB，)(21BKSB由正弦定理，有，MRBBMRMBBRsinsin，BKSBSKSBBKsinsin，因此BSBKCABMBR2cos2cos。又MKBI，所以RSBI．又ABMI，所以考虑直角△IRB，△ISB，△BIM有BSBRBIBSBRBSIBRBBIRSSIRI2)(2)()()(222222222注意到BMBK，因此2BMBSBR．所以，0)(2])()[(2222222IMBMBIRSSIRI下面讨论界心的两个性质．例6．设FED,,分别为△ABC的ABCABC,,边上的周界中点，R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，则（1）RrSSABCDEF2；（2）ABCDEFSS41．【证明】设aBC，bCA，cAB，cbap2，则由题设条件易知，