第9章 曲线拟合与数据分析

第9章曲线拟合与数据分析任课老师：程道建副教授E-mail:[e-mail]第9章曲线拟合与数据分析9.2数据管理与数学运算9.3统计分析及其他应用9.1曲线拟合回归分析概述所谓回归（regression）分析，就是一种处理变量与变量之间相互关系的数理统计方法。用这种数学方法可以从大量观测的散点数据中寻找到能反映事物内部的一些统计规律，并可以按数学模型形式表达出来。回归分析方法是处理变量之间相关关系的有效工具，它不仅提供建立变量间关系的数学表达式——经验公式，而且可对其进行拟合程度评价和显著性检验，从而检验经验公式的正确性。回归（regression）分析也可以称为拟合（fitting），回归是要找到一个有效的关系，拟合则要找到一个最佳的匹配方程，两者虽然略有差异，但基本一个意思。9.1曲线拟合回归分析的过程1）确定变量。包括自变量和因变量。2）确定数学模型。即自变量和因变量之间的关系。确定数学模型要注意两点：一是能否通过数据变换找到尽可能的模块。3）交由计算机软件进行反复逼近，必要时进行人为干预。4）根据运算结果，特别是相关系数进行检验。5）如果结果不满意，则重新修改模型参数再进行运算。9.1曲线拟合线性拟合线性拟合是数据分析中最简单又很重要的分析方法。Origin按以下方法把曲线拟合为直线：对X（自变量）和Y（因变量），线性回归方程为：Y=A+BX，参数A(截距)和B（斜率）由最小二乘法求算。线性拟合实例1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\CurveFitting\LinearFit.dat文件。2）选中A、B列数据，生成散点图。3）通过【Analysis】→【Fitting】→【FitLinear】命令打开LinearFit对话框。9.1曲线拟合线性拟合4）选择默认设置，单击OK按钮生成拟合曲线及分析报表。拟合曲线分析报表9.1曲线拟合线性拟合LinearFit对话框设置拟合参数设置对话框中，包含以下几项设置。1）Recalculate在这一项中，可以设置输入数据与输出数据的关系，包括Auto（当源数据数据变化后，自动更新）、Manual（手动更新）和None。9.1曲线拟合LinearFit对话框设置2）InputData该项下面的选项用于设置输入数据区域以及误差数据区域。3）FitOptionsErrorsasWeight：误差权重。FixIntercept（at）：截距限制。FixSlope（at）：斜率限制。UseReducedChi-Sqr：这个数据也能显示误差。ApparentFit：使用log坐标对指数衰减进行直线拟合。9.1曲线拟合LinearFit对话框设置5）QuantitiestoComputeFitParameters：拟合参数项。FitStatistics：拟合统计项。FitSummary：拟合摘要项。ANOVA：是否进行方差分析。Covariancematrix：是否产生协方差Matrix。Correlationmatrix：是否显示相关性Matrix。9.1曲线拟合LinearFit对话框设置5）ResidualAnalysis该项设置几种残差分析的类型。6）OutputResult该项用来定制分析报表PasteResultTablestoGraph：是否在拟合的图形上显示结果表格。OutputFittedValuesTo：报表输出位置。OutputFindSpecificX/YTables：输出时包含一表格。自动计算X对应的Y值或Y对应的X值。（后面FindspecificX/Y选中才出现此项）9.1曲线拟合LinearFit对话框设置7）FittedCurvesPlot设置拟合图形选项PlotonOriginalGraph：在原图上作拟合曲线。UpdateLegendonOriginalGraph：更新原图上的图例。XDataType：设置X列数据类型。ConfidenceBands：显示置信区间。PredictionBands：显示预计区间。ConfidenceLevelforCurves：设置置信度。9.1曲线拟合LinearFit对话框设置8）FindSpecificX/Y设置是否产生一个表格，显示在Y列或X列中寻找另一列对应的数据。（输出位置在OutputResult中设置）9）ResidualPlots用于输出各残差分析图。9.1曲线拟合线性拟合关于分析报表分析报表（AnalysisReportSheets）较之旧版本，是新版本中的一个重要改进。新版本重新设计了全新的电子表格模块，支持复杂的格式输出。另外在新版本中，新版本分析报表并不仅仅是用来显示分析结果的“静态”报表，而更像一种分析模板，也即是“动态”报表。新分析报表的特点：按树形结构组织，可根据需要进行收缩或展开；每个节点的输出内容可以是表格、图形、统计和说明；报表以电子表格（Workbook）形式呈现，分析报表附带的数据会生成新的电子表格。9.1曲线拟合拟合结果分析报表1）Notes：记录用户、使用时间和拟合方程等信息。2）Input：显示数据的来源。3）Parameters：显示斜率、截距和标准差。9.1曲线拟合拟合结果分析报表4）Statistics主要显示统计点个数，相关系数R-Square。5）Summary摘要信息显示，整合了斜率、截距和相关系数等主要信息。6）ANOVA显示方差分析的结果。9.1曲线拟合拟合结果分析报表7）FittedCurvesPlot显示拟合结果缩略图。8）Residualvs.IndependentPlot实验值与估计值的残差图。显示其他图表可以再ResidualPlots中设置。9.1曲线拟合多项式拟合对于并非有明显线性关系的数据，通常会考虑多项式拟合。理论上n值越大，拟合效果越好。但随着n的增大，拟合曲线就会产生剧烈震荡，并且项数的增多，如何解释其物理意义也是一个问题。在实际实验数据分析处理中，多项式拟合一般不会超过4次项。212nnYABXBXBX9.1曲线拟合多项式拟合多项式拟合实例1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\CurveFitting\PolynomialFit.dat文件。2）选中A、B列数据，生成散点图。3）通过【Analysis】→【Fitting】→【FitPolynomial】命令打开PolynomialFit对话框。其中的参数设置以及结果输出可参考线性拟合，其内容基本相同。9.1曲线拟合多项式拟合多项式次数二次多项式拟合结果9.1曲线拟合多元线性拟合在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。在Origin中同样可以是想多元线性回归分析。01122kkyxxx9.1曲线拟合多元线性拟合多元线性拟合实例1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\CurveFitting\MultipleLinearRegression文件。2）无需生成散点图，通过【Analysis】→【Fitting】→【MultipleLinearRegression】命令打开类似LinearFit对话框的MultipleRegression对话框。9.1曲线拟合多元线性拟合实例3）输入因变量（dependent）和自变量（independent），其他设置选择默认，单击OK即可输出下图分析报表。Summary中给出了截距（intercept），自变量（Indep1、2、3）的系数及相关系数。9.1曲线拟合非线性拟合对于实际实验，很多数据并不能处理成一种直线关系，除了多项式拟合外，Origin还提供了非线性函数进行拟合。在Origin中，使用NonLinearFitting（NLFit）对话框来完成这个工作。NLFit工具内置了超过200种的拟合函数，基本能够适合各种学科数据拟合的要求，每一个函数也可以使用具体函数进行定制。9.1曲线拟合非线性拟合非线性模型12;1sinlnbxbxcyaeyaeyabxx例如：求出最佳的参数拟合,1,2,3,,,iinYXinYXYfX有组观测数据：设因变量和自变量满足：9.1曲线拟合Origin解非线性模型的算法1）Levenberg-Marquardt(L-M)method(列文伯格-马夸尔特法)：LM算法需要对每一个待估参数求偏导。对于Origin内置的拟合函数，Origin提供了求偏导的解析表达式，因此速度快，拟合时，尽可能使用Origin的提供的内置拟合函数对于用户自定义的拟合函数，求偏导时，直接使用数值进行，速度较慢。Origin也允许用户定义求偏导的表示式。2）SimplexMethod（单纯形算法）当L-M算法不能得出最佳的拟合结果时，可尝试使用该算法。9.1曲线拟合如何评价非线性拟合结果2221222201,ˆ,degreesoffreedomniiiRYYreducednpdofnpRnp确定系数：残差平方对同一组数据，越大越好对同一组数据，越小越好，其中为参与拟合的数据点的数目，为参数的数目称为自由度置信区间：越窄越好预期区间：和：越窄越好9.1曲线拟合非线性拟合非线性拟合实例1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\CurveFitting\Gaussian.dat文件。2）选中A、B列数据，生成散点图。3）通过【Analysis】→【Fitting】→【NonLinearCurveFit】命令打开NLFit对话框。4）选择默认设置，单击OK。9.1曲线拟合非线性拟合NLFit对话框非线性拟合结果9.1曲线拟合非线性拟合NLFit对话框设置NLFit对话框主要由3部分组成，分别是上部的一组参数设置标签、中间的一组主要的控制按钮以及下部的一组信息显示标签。1239.1曲线拟合NLFit对话框设置对话框上部的一组标签，主要用来设置拟合的参数。1）Setting标签：包括4个子项。A、Function：包括Category（函数所属种类）、Function（具体的函数）、Description（函数描述）和FileName（函数来源和名称）。9.1曲线拟合NLFit对话框设置B、DataSelection：输入数据的设置。C、FittedCurves：拟合图形的一些参数设置。D、Advanced：一些高级设置，参考线性拟合部分。9.1曲线拟合NLFit对话框设置2）Code标签：显示拟合函数的代码、初始化参数和限制条件。3）Parameter标签：此标签为参数列表，包括：Param（参数名）、Meaning（参数意义）、Fixed（是否为固定值）、Value（参数值）、Error（误差值）、Dependency（置信值）、Lowerconflimits（参数值下限）、Upperconflimits（参数值上限）、SignificantDigits：有效数字个数。9.1曲线拟合NLFit对话框设置4）bounds标签：各参数上下限、及上下限与参数的关系（有、=、、=和Disable5个选项）。9.1曲线拟合NLFit对话框设置对话框中间一组控制按钮从左至右包括：1）Create/EditFittingFunction:新建/编辑拟合函数。2）SaveFDFFile：保存拟合函数。3）InitializeParameter