大一高数下 复合求导

第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则机动目录上页下页返回结束多元复合函数的求导法则第八章一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数),(vufz处偏导连续,在点t可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数证:设t取增量△t,vvzuuzz)(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动目录上页下页返回结束有增量△u,△v,,0,0vu则有(全导数公式)tvvztuuztzto)(zvutt))()((22vu)(o(△t＜0时,根式前加“–”号)tvtvtutudd,dd机动目录上页下页返回结束tvvztuuztzdddddd若定理中说明:例如:),(vufztvtu,易知:但复合函数),(ttfz21ddtztvvztuuzdddd01010偏导数连续减弱为偏导数存在,2t0,22222vuvuvu,0022vu机动目录上页下页返回结束则定理结论不一定成立.推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,,),,(wvufz设下面所涉及的函数都可微.tzdd321fff2)中间变量是多元函数的情形.例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动目录上页下页返回结束)(,)(,)(twtvtu又如,),(,),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时,有xz121ffyz22ffzxyx注意:这里xzxfxz表示固定y对x求导,xf表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导xf与不同,v机动目录上页下页返回结束例1.设,,,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解:xzveusinyzveusinxvvzveucosyvvzveucos11zvuyxyx机动目录上页下页返回结束例2.,sin,),,(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yxcos2机动目录上页下页返回结束例3.设,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtz求全导数,teu,costv解:tcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动目录上页下页返回结束验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见,引入记号,,2121vuffuff例4.设f具有二阶连续偏导数,求.,2zxwxw解:令,,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufwzyf2),(2zyxzyxfzy则zxw222221211)(fyfzyxfzxyfyxf12yxf2221,,ff机动目录上页下页返回结束(当在二、三象限时,)xyarctan例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解:已知uryxyx极坐标系下的形式xrruxu(1),则机动目录上页下页返回结束rurusincosyuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu题目目录上页下页返回结束ryru2rxuuryxyx已知rsin)(rurusincos)(xux22)2(xururuxusincosuryxyx)(rxu)(xururusincos2cossinrucosrsinxu2rru2sin2cos)(r注意利用已有公式机动目录上页下页返回结束22yu2222yuxu21r22xurruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221ur22)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru题目目录上页下页返回结束二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为yyzxxzzdddyyvvzyuuzd)(可见无论u,v是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvd都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.机动目录上页下页返回结束例1.,,,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例6.利用全微分形式不变性再解例1.解:)(ddz)]cos()sin([yxyxyeyx所以veusinvveudcos)(dyx)(dyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy机动目录上页下页返回结束内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,uvyxyx;122.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d机动目录上页下页返回结束思考与练习解答提示:P31题7vz1xzyz)1(22yxxy22vuuP31题7;8(2);P73题11机动目录上页下页返回结束……P31题8(2)xu1f11fyyu1f2fzu2f2121fzfyx22fzy机动目录上页下页返回结束xz1f2fyxz211f13f21f23f作业P312;4;6;9;10;12(4);13P73题11第五节目录上页下页返回结束备用题1.已知求解:由两边对x求导,得机动目录上页下页返回结束2.))1,1(,1()1(ff1)(dd3xxx1)1,1(f1dd)(32xxx3)),(,(1xxfxf)),(,(2xxfxf1x351,1)1,1(f,)),(,()(xxfxfx,2)1,1(xf求在点处可微,且设函数,3)1,1(yf解:由题设23)32((2001考研)机动目录上页下页返回结束