大一高数期末复习重点

1两类重要极限单调有界必有极限夹逼定理无穷小无穷大与性质有限个无穷小的和,积仍是无穷小无穷小与有界量的积仍是无穷小(高阶,低阶,同阶,等价,阶)k1sinlim0xxxe)11(limxxx极限存在准则比较第一章极限与连续2常用等价无穷小~1exx,0x当~1xaaxln~xsinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~)1ln(xx~xxsintan23x~xcos122x~1)1(xx3(2)同除最高次幂;(1)消去零因子法;(6)复合函数求极限法则(7)利用左、右极限求分段函数极限;(5)利用无穷小运算性质(3)通分;(4)同乘共轭因式;(8)利用夹逼定理;(11)利用连续函数的性质(代入法);(10)利用等价无穷小代换;(9)利用两类重要极限;(12)利用洛必达法则.函数极限的求法洛必达法则+等价无穷小代换洛必达法则+变上限积分求导4例xxxxxsintan0eesin1tan1lim故)e)(esin1tan1(sintanlimsintan0xxxxxxxxxxxxsintan0eesintanlim21)1e(esintanlim21sintansin0xxxxxx~1esintanxx,sintanxx,0x当)1e(esintanlim21sintansin0xxxxxx原式)sin(tanesintanlim21sin0xxxxxx215两对重要的单侧极限,0lim)1(10xxaa.21arctanlim0xx,lim10xxa,21arctanlim0xx.11lim2xxx一类需要注意的极限,11lim2xxx6)()(lim00xfxfxx左连续、右连续的定义连续间断点的分类闭区间连续函数的性质有界性最大,最小值定理介值定理,第一类间断第二类间断(可去型,跳跃型)(无穷型,振荡型)零点定理7,e11)(1的间断点求xxxf解函数无定义,,1,0时当xx是函数的间断点.,0x)(lim0xfx由于xxx1e11lim0,所以0x是函数的第二类间断点,且是无穷型.,1x由于)(limxfxxx1e11lim10)(limxfxxx1e11lim11所以1x是函数的第一类间断点,且是跳跃型.并指出其类型.1x1x例8求的间断点,)1)(1(sin)1(lim1xxxxxx,1sin21x=–1为第一类可去间断点,)(lim1xfxx=1为第二类无穷间断点,1)(lim0xfxx=0为第一类跳跃间断点例解并判别其类型.0,1,1xxx是间断点,,1x,0x,1x.1)(lim0xfx9.,11sin)1sin(121211并判断其类型的间断点求xxyxx.10:是可能的间断点，可知解xx处，在0)1(x但不相等，处的左右极限都存在因在,0x.,0且是跳跃间断点为函数的第一类间断点所以x)1(sin1lim)1(sin1lim2020yyxx，例10在且相等，处函数的左右极限都存即在1x]11sin)1sin(1212[limlim1111xxyxxxx31处，在1)2(x.,1且是可去间断点是函数的第一类间断点所以x11例设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:20)cos1(lim)0(xxafx2a221~cos1xx)(lnlim)0(20xbfxblnbaln122e2)cos1(xxa12例0,00,1sin)(2xxxxxf讨论.0处的连续性与可导性在x那么处处可导如果,0),1(0,e)(2xxbxxfax.1,0)(;0,1)(;1,2)(;1)(baDbaCbaBbaA)(例13导数定义几何意义可导性与连续性的关系)(0xfk切线斜率),(0xf左导数导数存在的充要条件)(0xf右导数连续可导求微分可导与微分的关系xxfyd)(d0可微可导微分第二章导数与微分14按定义求导求导数方法复合函数求导参数方程求导隐函数,对数法求导分段函数在分段点求导)11,cos(sinxx,ex,x高阶导数15txtyxydddddd求导数：参数方程)()(tytxxxyxyd)ddd(dd22txtttddd))()(d()()(tttxtxyddd)ddd(16中值定理罗尔定理证明不等式洛必达法则中值定理的应用拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒定理数讨论方程根的存在与个,(泰勒公式)麦克劳林公式)1,,,00(等未定型极限计算第三章微分中值定理及其应用17函数的单调性函数性态函数的极值函数的凹凸性函数的最大最小值函数的渐近线(水平,垂直)(拐点,凹凸性和判别法)驻点极值存在的必要条件极值存在的充分条件)(利用导数判断18带Peano型余项的泰勒公式阶连续内有的区间在含设),()(0nbaxxf,导数),,(bax则对于有200000)(2)())(()()(xxxfxxxfxfxf].)[()(2)(000)(nnnxxoxxxf19常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx20)(1112nnxoxxxx2!2)1(1)1(xmmmxxm)(!)1()1(nnxoxnnmmm21洛必达法则基本类型：:变型注法则：(1)当上式右端极限存在时,才能用此法则,(2)在求极限过程中,可能要多次使用此法则,(3)在使用中,要进行适当的化简,,00型型.)()(lim)()(limxgxfxgxf,0,,00,1型0(4)在使用中,注意和其它求极限方法相结合.22定理(第一充分条件),)(0xxa当;0)(xf有,0xx而当,0)(xf.)(0处取极大值在则xxf,)(0xxb当;0)(xf有,0xx而当,0)(xf.)(0处取极小值在则xxf.)(0处无极值在xxf,)()(0内在邻域设xUxf有有,)()()(0符号相同内在邻域若xUxfc则23定理(第二充分条件),)(0处具有二阶导数在设xxf,0)(0xf则,0)()(0xfa当,0)()(0xfb当,)(0处取得极大值在xxf.)(0处取得极小值在xxf,0)(0xf且24求极值的步骤:);(.xfa求导数)0)((.的根方程求驻点xfb,)(在该点的符号或xf..求极值d,)(.中所有点左右的正负号在检查bxfc.的点不存在及)(xf.判断极值点25渐近线的求法水平渐近线)(a满足若函数)(xf,)(lim),(axfx.)(ayxf的曲线有水平渐近线则函数垂直渐近线)(b满足若函数)(xf,)(lim),(000xfxxxx.)(0xxxf的曲线有垂直渐近线则函数26.,,1,1112)(.12baxxbaxxxxfy确定处可导已知函数在设计算题)11ln(lim.22xxxx30)1(sinelim)1(.3xxxxxx求极限　xxxxln10)1e(lim)2(271.)1()(lim)(lim,11fxfxfxx有由连续性)1(1ba1)1()(lim1)1()(lim,11xfxfxfxfxx有由可导性1112lim11lim211xxxbaxxx计算题解答1)1(4lim1112lim22121xxxxaxx28)11ln(lim.22xxxxxxxx1)11ln(1limtttxtt)1ln(11lim10，则原式令21)1(211lim2111lim)1ln(lim0020ttttttttttt1a.21b）由（2920321cosesinelim:)1(.3xxxxxxx原式解xxxxxxxx62)sin(cose)cos(sinelim0xxxx31coselim03cosesinelim0xxxxx　31　302301e)(sinelim:2xxxxxxxx原式解法xxxxxxxx21elim31coslimelim0200312161　31)0()1e(lim)2(0ln10xxxxxxxxxxxxx11e1elimln)1eln(lim00ee1eelim11ee1elim1e)1e(lim000eeexxxxxxxxxxxxxxxxx~1e0时，2elim1ee0xx上式32基本概念基本性质)d)(xxf不定积分,(原函数;,(微分运算间关系与求导)线性可加性法分积换元积分法分部积分法有理函数的积分)(凑微分法,(三角代换第二类换元)倒代换四种基本形式的积分可化为有理函数的积分第一类换元第四章不定积分33xxxd1142例解xxxxd111222分子分母同除以2x原式2)1(2xx)1(dxxCxx21arctan21Cxx21arctan21234xxd14)1(2x)1(2xxxd114xxxxd11121222xxxxd111212222)1(212xx)1(dxx2)1(212xx)1(dxx21arctan221xx21221ln21xx21xx)0(x21C例35例解.d},1max{xx求},,1max{)(xxf设,1,11,11,)(xxxxxxf则,),()(上连续在xf),(xF则必存在原函数.1,2111,1,21)(32212xCxxCxxCxxF须处处连续，有又)(xF36),21(lim)(lim12121CxCxxx,21112CC即),(lim)21(lim21321CxCxxx,12123CC即.1,12111,211,21d},1max{22xCxxCxxCxxx故.1,2132CCCC＋可得,1CC联立并令37基本公式几何意义基本性质定积分估值定理变上限函数及其导数)(d)(babaxFxxfLN公式baabMxxfabm)(d)()(定积分的定义,(线性)比较性质,区间可加性第五章定积分)(和求极限结合38换元法广义积分计算分