数据模型与决策-22(概率分布)

数据、模型与决策丁邦俊[e-mail]飞机票超售问题分析问题的背景2017年4月9日下午5:40分，从芝加哥O‘Hare国际机场飞往肯塔基州Lousville的联合航空UnitedAirlines3411次航班出现了超额订票的情况，为让4名机组人员能于翌日抵达路易斯威尔，以为隔日的航班做准备，便在机上寻求4名自愿下机的乘客，承诺赔偿400美元及一夜酒店住宿，但加至800美元都无人放弃登机，地勤随后以最高1000美元征集「志愿者」，但无人同意，航空公司决定用电脑随机抽出4人。（顺便提示：波音737-300共128个座位；波音737-800共167个座位）虹桥机场超售机票事件•2000年夏秋之交上海一家电视台播出一段新闻：某航空公司（为叙述方便，以下简称G公司）一架从上海飞往加拿大的某城市的飞机，由于卖出的机票超过了座位数，造成35人不能登机，乘客十分不满。G公司的一位经理当场接受电视台的采访，大意如下：•记者：您认为超额卖飞机票的方法对吗？•经理：这是国外航空公司的惯例。•记者：那么您知道应该超卖多少张数才合理呢？•经理：我不知道。•诚然，超额卖飞机票的做法是国外航空公司的惯例，因为可能会有一些乘客不来登机，就会造成航空公司的损失。万一来人超过了座位总数，就会造成个别乘客不能登机的现象。当这一现象发生时，国外航空公司常常会宣布：“谁愿意等待本公司下一班飞机，公司将赠送一张本公司航班（任何两地、任何时间的来回机票一张作为补偿，或者赔钱200美元）”。至于误餐误宿，当然照赔。•假如G公司这架飞机是波音747－400，有408个座位。再假设订座而不来登机的客人占所有订座客人的比率为p，p是一个很小的数字，可能与航空公司有关，它可以从过去的数据中统计出来。机票超售管理问题•问题1：设p=1.5%超卖的张数为m，试寻找m，使得到机场的乘客全部能登机的概率大于99％，如果p上升到2％或下降到1％，情况又如何呢？•问题2：假设p=1.5%，超卖的张数为m=10，那么至少又3位乘客不能登机的概率有多少呢？•问题3：回答了前面两个问题后，您如何评价G公司的这一事件？请您告诉这位经理“应该卖多少张数才合理”。（顺便说，现在35人不能登机，您能估计超卖数m吗？•问题4：国外也有发生大量乘客不能登机，以至不得不用抽签的办法来确定谁不能上飞机（当然航空公司也要赔偿）。比如去年“协和”飞机发生的空难事件，当时有17人因为客满而不能登机，从而逃脱了鬼门关，航空公司竟然多卖了17张飞机票（或者说至少17张）！您能对此作些解释吗？•问题5：如果把赔偿的金额考虑进去，航空公司该怎样考虑超卖飞机票的问题呢？基本假设•假如G公司的飞机有75个座位；•假设订座而不来登机的客人占所有订座位人数的比率为p,p是一个很小的数字。可以根据历史资料估计出来航班空座位的分布空座位的个数航班次数2134405462758191100112合计20比率p的估计•空位数是3时，20个航班共有4个航班，能否认为p=4/20=0.20?•P的正确估计应该为08.0150012020752110104312p售机票的学问•现在我们用估计值来求二次分布的P(3)，即有3个空座位的概率•假如该航空公司决定每个航班售出78张机票，同时假定未乘飞机的乘客是从全部乘客中随机抽出的样本，那么来乘飞机的超过75人的概率是多少？337275(3)(0.08)(0.92)0.085PC售机票的学问•这样，若每个航班售出78张机票，在登机时因座位已满而无法登机的风险是0.046，即平均每100个航班中会有4.6个航班发生这种风险。•这个问题就是求在售出的78张机票中，来乘飞机的达76人、77人和78人的概率，即76762777717878787878(10.08)(0.08)(10.08)(0.08)(10.08)0.046CCC•航空公司在考虑不同的方案时也考虑每个航班售80张机票，显然座位已满无法登机的风险会更大。在n=80时，二项分布的分布律已经给出：售票数Y概率P(Y)售票数Y概率P(Y)800.00730.15790.01720.12780.03710.08770.07700.05760.11690.03750.15680.02740.17670.01•这时发生有票而无法登机的风险增加到0.110.070.030.010.000.22售机票的学问•预定80张机票的方案是否可行，不仅要看无法登机风险的大小，最主要的是需要计算平均机会损失（ExpectedOpportunityLoss,简记为EOL），即在某种方案下的平均损失额（在经济学与机会成本中的概念相同）。若来登机的乘客人数少于75人，每空一个座位就损失1000元人民币。反之，若登机人数超过75人，则按照一般惯例，无法登机的乘客可以得到2000元人民币，即除退还1000元机票费用，还赔偿同样价格的损失费用。平均机会损失•平均机会损失=损失的各种可能性×相应损失的大小之和例子：若一项投资赢利100万的可能性为0.8亏损50万的可能性为0.2则如果不投资不赢利也不亏本而平均机会损失=100X0.8+(-50)X0.2=70万•按照这一原则就得到如下EOL的计算表：yP(y)g(y)g(y)P(y)800.0010,0000790.018,00080780.036,000180770.074,000280760.112,000220750.1500740.171,000170730.152,000300720.123,000360710.084,000320700.055,000250690.036,000180680.027,000140670.018,00080合计1.00EOL=2560（元）售机票的学问•现在我们已经算出每个航班预计80个座位的平均机会损失是2560元，那么若采取保守稳健的方式，即只预定75张机票，平均机会损失是多少？由于在这种情况下只会发生空座位的损失而无超过75人登机的赔付，因而机会损失是线性的：•机会损失=OL=1000(75-Y)•则有E(OL)=1000[75-E(Y)]•=1000[75-75(0.92)]•=6000（元）•另外一种更简洁的算法是购票后没来登机的平均数为每一个座位损失1000元，则1000×6=6000（元）。•经过对这两个方案的比较，显然售80张机票比仅售75张更好一些，每个航班可以减少3440元的损失。若一年365天每天飞一个航班，售80张机票比仅售75张机票多收入3440×365=1255660元。那么预售机票方案的EOL：nEOLnEOL845130792830834020783415823170774200812665765058802560756000•经计算，我们得到最低的机会损失n=801/29/202011:25PM60005058420034152830256026653170402051300100020003000400050006000700074767880828486售机票的学问进一步讨论•另外一种求最优n的方法是：在n为多少时平均会有75人登机，即•用这种简单的方法得到的最优n=81.5或82，但我们实际计算的最优n=80，原因是什么呢？（思考）75n7581.50.92n售机票的学问•这个案例应用了二项分布、数学期望、机会损失和最优方案等统计知识和管理知识分析了航空公司预订机票的问题。•旅馆预订房间、图书数量征订等都是相似的问题，我们应该掌握这一案例的思想，去解决有关的实际问题。案例小结•二项分布（模型）很重要；•平均机会损失概念在管理中常常使用；•最优方案与假设条件有关。谢谢！