平面向量教案

第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念自主探究学习1.数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．.名师要点解析要点导学1.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.2.向量a与b相等，记作a＝b；零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.3.零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.4.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.【经典例题】【例1】下列命题正确的是【】A.a与b共线，b与ｃ共线，则a与ｃ也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【分析】由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量.A(起点)B（终点）a第一课件网免费教学资源下载基地【解】选C.【点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，注意这两方面的结合.【例2】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.【分析】首先区别零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系，再一一判别正误..【解】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量的模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.【点拨】本题考查基本概念，平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.2.2平面向量的线性运算2.2.1向量的加法运算及其几何意义自主探究学习1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法奎屯王新敞新疆2.向量的加法有三角形法则和平行四边形法则.3.122311nnnAAAAAAAA.名师要点解析要点导学1.|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当方向相同时取等号；2.几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）奎屯王新敞新疆课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的奎屯王新敞新疆3.向量加法有如下规律：a＋b=b＋a(交换律)；a+(b+c)=(a+b)+c（结合律）；a+0=a,a＋(－a)=0.因此，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.【经典例题】【例1】若a=“向东走8km”，b=“向北走8km”，则｜a+b|=_______，a+b的方向是_______.【分析】画出图形，以a、b为邻边的平行四边形是正方形，根据勾股定理可得|a+b|=6464=82（km），a+b的方向是东北方向..【解】82km东北方向【点拨】解决这样的问题，画出以a、b为邻边的平行四边形以后，问题就会迎刃而解.【例2】如图，一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).第一课件网免费教学资源下载基地【分析】画出图形，以AB、AD为邻边作平行四边形，根据勾股定理即可得解.【解】设AD表示船垂直于对岸行驶的速度，AB表示水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC就是船的实际航行的速度.在ABCRt中，2||AB，32|BC|.所以4|BC||AB||AC|22.因为23tanCAB3CAB602.答：船的实际航行的速度的大小为h/km4，方向与水流速间的夹角为60.【点拨】：向量的加法可以用几何法进行，正确理解向量的各种运算的几何意义，进一步加深对“向量”的认识，体会用向量处理问题的优越性.2.2.2向量的减法运算及其几何意义自主探究学习1.用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a.（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0.如果a、b互为相反向量，则a=b，b=a，a+b=0.（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab3.向量减法的几何表示：三角形法则，即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.名师要点解析要点导学以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量AC=a+b,BD=b－a,DB=a－b且有︱a︱－︱b︱≤︱ab︱≤︱a︱+︱b︱．【经典例题】【例1】在下列各题中,正确的命题个数为【】(1)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a+b与a方向相同(2)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a-b与a+b方向相同(3)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a方向相反(4)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a+b方向相反A.1B.2C.3D.4【分析】画出具体的向量进行判定正误.【解】D.【点拨】正确理解向量减法的几何意义，即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量可快速解决本题.【例2】在四边形ABCD中，AB－DC－CB等于【】A.ACB.BDC.ADD.AC第一课件网免费教学资源下载基地【分析】AB－DC－CB=AB－DB=AB+BD=AD.【解】C.【点拨】考查向量加法与减法的几何意义，深入理解向量的减法是向量加法的逆运算.2.2.3向量数乘运算及其几何意义自主探究学习1.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa.（1）|λa|=|λ||a|.（2）λ0时λa与a方向相同；λ0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0.2.向量共线定理向量b与非零向量a共线，当且仅当只有一个非零实数λ，使b=λa奎屯王新敞新疆名师要点解析要点导学若有向量a(a0)、b，实数λ，使b=λa，则a与b为共线向量；反之若a与b共线(a0)且|b|：|a|=μ，则当a与b同向时b=μa；当a与b反向时b=μa奎屯王新敞新疆从而得向量b与非零向量a共线，当且仅当只有一个非零实数λ，使b=λa奎屯王新敞新疆【经典例题】【例1】若3ｍ＋2ｎ＝a，ｍ－3ｎ＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.【分析】可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解得向量m、n.【解】记3m＋2n＝a①,m－３n＝b②.3×②得３m－９n＝３b③.①－③得11n＝a－３b.∴n＝111a－113b④.将④代入②有m＝b＋３n＝113a＋112b.【点拨】在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从中我们知道解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.【例2】已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若OCOBOA=0，则O是△ABC的（填内心、重心、垂心、外心等）.【分析】可利用平行四边形法则进行向量的加法运算，由于连续的加法运算满足交换律与结合律，即与代数中的加减运算方式一样，进行等式的变形后，再找出O与△ABC之间（内心、重心、垂心、外心）的关系.【解】∵OCOBOA=0，∴)(OCOBOA，即OCOB是与OA方向相反且长度相等的向量.如图所示，以OB、OC为相邻的两边作平行四边形BOCD，则OCOBOD，∴OAOD.在平行四边形BOCD中，设BC与OD相交于E，ECBE，则EDOE.AOCDBE第一课件网免费教学资源下载基地∴AE是△ABC的BC边的中线，且.||2||OEOA∴点O是△ABC的重心.【点拨】以三角形的重心为起点，以其各顶点为终点的三个向量之和为零向量.除此还有首尾相连的向量之和为零向量.这两个结论在用数形结合的方法研究零向量时是有力的工具.2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理自主探究学习平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e.名师要点解析要点导学1.平面向量基本定理中不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2.基底不惟一，关键是不共线；3.由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；4.基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的实数.【经典例题】【例1】设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB，且λ+μ=1，λ、μ∈R.【分析】根据点P在AB上，AP与AB共线入手解决问题.【证明】∵P在AB上，∴AP与AB共线.∴AP=tAB.∴OP－OA=t（OB－OA）.∴OP=OA+tOB－tOA=（1－t）OA+tOB.设1－t=λ，t=μ，则OP=λOA+μOB且λ+μ=1，λ、μ∈R.【点拨】本题重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.本题以OA、OB为基向量通过引入参数，在OABOAP中利用三角形法则寻求OP与OA、OB的关系.本题结论应用较广,要求掌握.【例2】已知平行四边形OADB中，OA=a，OB=b，AB与OD交于C.且|BM|=31|BC|，|CN|=3