勾股定理及逆定理证明2

勾股定理与它的逆定理的证明开发区中学王京春2009、4驶向胜利的彼岸勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagorastheorem）.开启智慧acb勾弦股驶向胜利的彼岸勾股定理的证明我能行1方法一:拼图计算方法二：割补法方法三：赵爽的弦图方法四：总统证法方法五：青朱出入图方法六：折纸法方法七：拼图计算这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?总统证法回顾反思1这个证明方法出自一位总统,1881年，伽菲尔德(J.A.Garfield)就任美国第二十任总统,在1876,利用了梯形面积公式。图中三个三角形面积的和是梯形面积为(a+b)(a+b)/2;比较可得:c2=a2+b2。ababcc2c2ab22驶向胜利的彼岸勾股定理的逆定理我能行2如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:△ABC是直角三角形.acbABC(1)逆定理的证明我能行2证明:作Rt△A′B′C′使∠C′＝900，A′C′＝ACB′C′＝BC(如图),则acbABC(1)acbB′A′C′(2)A′C′2＋B′C′2＝A′B′2(勾股定理)∵AC2＋BC2＝AB2(已知),A′C′＝AC,B′C′＝BC(已作)∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)∴∠C=∠C′＝900(全等三角形的对应角相等)∴△ABC是直角三角形(直角三角形定义).∴AB2＝A′B′2(等式性质)∴AB＝A′B′(等式性质)acbABC(1)acbB′A′C′(2)几何的三种语言回顾反思1勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形这是判定直角三角形的根据之一在△ABC中∵AC2＋BC2＝AB2(已知),∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).acbABC(1)驶向胜利的彼岸命题与逆命题1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2、如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.开启智慧再观察下面三组命题:如果两个角是对顶角,那么它们相等如果两个角相等,那么它们是对顶角如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧如果小明发烧,那么他一定患了肺炎三角形中相等的边所对的角相等三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.驶向胜利的彼岸命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.开启智慧你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?驶向胜利的彼岸定理与逆定理一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题开启智慧如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.想一想互逆命题与互逆定理有何关系?我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.蓄势待发隋堂练习1驶向胜利的彼岸说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假:四边形是多边形;两直线平行,同旁内角互补;如果ab=0,那么a=0,b=0.请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.学无止境读一读1勾股定理是数学上有证明方法最多的定理──有四百多种说明！古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的.P18《读一读》：勾股定理的证明.学无止境读一读1历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。驶向胜利的彼岸P18《读一读》：勾股定理的证明.梦想成真试一试P1421.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?●AB●301212回味无穷勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagorastheorem）.勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.小结拓展回味无穷小结拓展•命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.•定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.知识的升华独立作业P9习题1.41,2,3题.祝你成功！习题1.4独立作业11.如图，在△ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.求证:AB=AC.证明:∵BD=CD,BC=10cm(已知)∴BD=5cm(等式性质).在△ABD中,∵AD2+BD2=122+52＝144+25=169,AB2=132=169∴AD2+BD2=AB2∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).在Rt△ADC中∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169∴AC2=AB2∴AB=AC(等式性质).DBCA2.房梁的一部分如图所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB,B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多少？B1C1呢？解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知)∴BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半)又∵CB1⊥AB,∠BCB1=900-600=300(直角三角形两锐角互余),∴BB1=BC/2=5÷2＝2.5(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).BCA300B1C1∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质).∴B1C1=AB1/2=7.5÷2＝3.75(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),BCAB1C1D1A1DBAB1D1A1DC1C.勾股定理412164810CCACAC222121结束寄语•严格性之于数学家,犹如道德之于人.•证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!