《线性代数》同济第五版课件第三章

第三章矩阵的初等变换与线性方程组1矩阵的初等变换2矩阵的秩3线性方程组的解§1矩阵的初等变换2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组1分析用消元法解线性方程组的过程．引例求解线性方程组123412341234123422,24,146224,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx　　　　　21341234234223423424,2220,5536,3343.xxxxxxxBxxxxxx　　　21342020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组2解1234123411234123424,22,232,36979.xxxxxxxxBxxxxxxxx　　　　2134123212332143112342344424,0,3,00.xxxxxxxBx　　　　21342020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组3123423434424,2,26,3.xxxxxxxBxx　　　　21342235243243423最后用“回代”的方法求出解．2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组4于是解得132344,3,3,xxxxx其中可任意取值．3x或令，方程组的解可记作3xc1234433xcxcxxcx，141321003xc即　　其中为任意常数．c2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组5在上述消元过程中，始终把方程组看作一个整体来变形，用到如下三种变换：(1)交换方程次序；(3)一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）ij(2)以不等于0的数乘某个方程；（以替换）iki（以替换）ikji2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组6并且这三种变换都是可逆的．因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．这三种变换都是方程组的同解变换，所以最后求得的解(2)是方程组(1)的解．AB若，ij;BA则ijAB若，ik;BA则ikAB若，ikj.BA则ikj2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组7若记2111211214,4622436979BAb在上述变换过程中，只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵的行变换．B方程组(1)的增广矩阵于是定义类似地，可定义矩阵的初等列变换，所用记号把r换成c即可．2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组8定义1下列变换称为矩阵的初等行变换．ijiijrr对调两行对调，两行，记作iiik把某一行的倍加到另一行上去0iiikikrk以数乘某一行第行乘，记作ijjkirkr第行的倍加到第行上，记作矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换．2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组9显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．ABBA若，则ijrrijrrABBA若，则irk1irkABBA若，则ijrkrijrkr如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，BA就称矩阵与等价，记作．ABAB等价关系具有反身性、对称性和传递性．2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组10用矩阵的初等行变换来解方程组(1)21112112144622436979B1231211214211122311236979rrrB2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组1123314122311214022200553603343rrrrrrB23242253311214011100002600013rrrrrB34434211214011100001300000rrrrB2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组12回代，得12234510104011030001300000rrrrBB13234433xxxxx取为自由未知数，并令，即得3x3xc1234433xcxcxxcx14131003c其中为任意常数．c2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组13(1)可画出一条阶梯线，线的下方全为0；(2)每个台阶只有一行，台阶数既是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．行阶梯形矩阵还称为行最简形矩阵．5B矩阵和都称为行阶梯形矩阵．4B5B510104011030001300000B矩阵称为矩阵的标准形．BF2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组14行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．任何矩阵，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．mnA34412512354331010410000011030100000013001000000000000cccccccccBF左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．其特点是：rmnEOFOO2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组15此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．对于矩阵，总可经过初等变换把它化为标准形Amn所有与等价的矩阵组成一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵．FA初等矩阵与初等变换2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组16三种初等变换对应有三种初等矩阵．定义2由单位阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．Ei对调两行或两列0iik以数乘某一行或某一列iiik把某一行列的倍加到另一行列上去2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组1711011,11011Eijiij把单位阵中第，两行列对调，得初等矩阵i第行j第行2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组18得用m阶初等矩阵左乘矩阵，,mEijijmnAa1TjTTTim其结果相当于把的第i行与第j行对调．Aijrr,mEijA1111010TjTiTTm2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组19类似地，以n阶初等矩阵右乘，得,nEijA其结果相当于把的第i列与第j列对调．A1,,,,,,njiaaaaijcc,nAEij11011,,,,,0,1nijaaaa2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组201111Eikk0iiki以数乘单位阵的第行列，得初等矩阵i第行2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组21111TmTmTiEkikA以左乘矩阵，mEikA其结果相当于以数k乘的第i行．Airk1TTTimk以右乘矩阵，nEikA其结果相当于以数k乘的第i列．Aick2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组221111kEijkiiikEji以乘的第行加到第行上，i第行kEij或以乘的第列加到第列上，得初等矩阵j第行2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组23以左乘矩阵，mEijkA其结果相当于把的第j行乘k加到第i行．AmEijkA11111TTijTmTk1TTjTmTjTikijrkr2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组24以右乘矩阵，nEijkA其结果相当于把的第i列乘k加到第j列．AnAEijk1111,,,,,,1njiaakaa1,,,,,,njiiaaakaajickc1EijkEijk11EikEik1,,EijEij2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组25性质1设是一个矩阵，Amn显然初等矩阵都是可逆的，且对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的m阶初等矩阵；AA对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的n阶初等矩阵．AA,EijEijk,EijE1EikEikEEijkE0F2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组26再证必要性．设可逆，标准形为，即有nAnF性质2方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使．12,,,lPPPA12lAPPP因初等矩阵均可逆，充分性是显然的．证初等矩阵，使12,,,lPPP11sslFAPPPP因此中非零行的行数为n，即．FEFrnnEOOOF从而12lAPPP2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组27定理1设与为矩阵，那么的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵及n阶可逆矩阵，使．ABmnABPQPAQB推论方阵可逆的充要条件是．AAE定理1把矩阵的初等变换与矩阵的乘法联系了起来，从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到初等变换的运算规律，也可以利用矩阵的初等变换去研究矩阵的乘法．2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组28例1把矩阵100201010A表示成有限个初等矩阵的乘积．解因，故可逆．A1A23100010201rrA1100001010P从而经过初等变换可变为单位阵．A11111234APPPP3214PPPAPE2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组29312100010001rr3100010201P21100010201r2100010001P31100010001c4100010001P1111AEAAAEAEA11,AAAE,BP2020/1/30第三章矩阵的初等变换与线性方程组30下面介绍一种利用初等变换求逆阵的方法．r