高二数学(《定积分的概念》(第2课时))

1.5.2汽车行驶的路程问题提出1.用极限逼近思想求曲边梯形面积的基本步骤是什么？，分割→近似代替→求和→取极限.2.若已知物体的运动路程s与时间t的函数关系：s＝f(t)，如何求物体在某时刻t0的瞬时速度？v＝f′(t0)3.若已知物体的运动速度v与时间t的函数关系：v＝f(t)，那么f′(t0)的含义是什么？如何求物体在某时段内经过的路程呢？f′(t0)表示加速度探究（一）：汽车行驶的路程思考1：汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线运动，那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？s＝vt不相等思考2：已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，为了计算汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，将区间[0，1]等分成n个小区间，那么各个小区间对应的时段分别是什么？1121[0,],[,],[,1]nnnnn-L思考3：当n很大时，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于以左端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在上述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？12n´211[()2]nn-+?221[()2]nn-+?12n´，，，211[()2]nnn--+?…，思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程的近似值如何计算？其结果是什么？3(1)(21)26nnnnsn--=-+思考5：利用极限逼近思想，汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程为多少？1115limlim(1)(2)2()63nnnsskmnn==---+=探究（二）：汽车行驶路程的拓展探究思考1：在每个小区间上，如果认为汽车近似于以右端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在前述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？211[()2],nn-+?221[()2],,nn-+?L211[()2],nnn--+?11.n´00000()()()limlimxxyfxxfxfxxx+-¢==VVVVVV思考2：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程如何计算？其结果是什么？3(1)(21)216nnnnnsnn---=-+5lim()3nnsskm==00000()()()limlimxxyfxxfxfxxx+-¢==VVVVVV思考3：由直线t＝0，t＝1，v＝0和曲线v＝－t2＋2围成一个曲边梯形，那么图中各小矩形的面积有什么物理意义？tyO21y＝－t2＋2汽车在各时段内行驶的路程的近似值.思考4：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，在数值上与这个曲边梯形的面积有什么关系？相等理论迁移例一辆汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)＝(单位：km/h)，求汽车在1≤t≤2时段内行驶的路程.26ts＝3tyO2126vt=小结作业1.求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可以用“以匀代变”和“极限逼近”的数学思想求解，其操作步骤仍然是：分割→近似代替→求和→取极限.2.在平面直角坐标系中，若横轴表示时间，纵轴表示速度，那么求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可转化为求曲边梯形的面积，二者对立统一.1.5.3定积分的概念观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xix1lim()niniSfxx1()niiSfxx(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb一、定积分的定义11()()nniiiibafxfnxx小矩形面积和S=如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作:从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.()bafxdxò1()lim()nbinaibafxdxfnx=-=åò定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。Oabxy)(xfy1()lim()nbinaibafxdxfnx=-=åòbaIdxxf)(iinixf)(lim10x被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限按定积分的定义，有:定积分的定义：1()lim()nbinaibafxdxfnx=-=åò()baSfxdx=ò(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为:(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为定积分的定义：1()lim()nbinaibafxdxfnx=-=åò()baSvtdt=òbaf(x)dxbaf(t)dtbaf(u)du。说明：(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关.（2）定义中区间的分法和xi的取法是任意的.(3)()()baabSfxdxfxdx==-蝌二、定积分的几何意义：Oxyabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当ab时，有baf(x)dx0。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([abyf(x)yf(x)dxxfSba)]([baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。二、定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示()bafxdx()bafxdxSabyf(x)Oxy()ygx探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx2()baSgxdx三:定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fk三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3:2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyabyf(x)Ｃaby=f(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。cOxybaf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。性质3:不论a，b，c的相对位置如何都有:例1：利用定积分的定义,计算的值.130xdx作业：Ｐ５６Ａ组５（４）Ｂ组２练习：Ｐ５５-５６Ａ组３，４Ｂ组１，４，３