人教版高中数学《椭圆及其标准方程》教学设计

一、教学内容解析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1第二章第二节第一课时，主要学习椭圆的定义和标准方程.在必修2学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形.这一节课是在学完圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，是继续学习椭圆的几何性质的基础；椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用.另外本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、类比思想、化归思想等.因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值.基于以上分析确定了本节课的教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；教学难点：椭圆标准方程的推导与化简．二、教学目标设置：1.借助动手实验让学生画出圆、椭圆、线段，找到它们三者之间的联系，为后面研究椭圆做准备。2.通过播放圆的研究过程的微课，让学生回忆起研究圆的基本流程，从而让学生学会类比圆的研究过程研究椭圆。3.通过类比圆的标准方程的推导，小组合作给出椭圆标准方程的推导过程，巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。4.通过经历椭圆标准方程的推导,对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识，同时增强学生战胜困难的意志品质，并体会数学的简洁美、对称美。以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．三、学生学情分析：本节课是在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后，学习椭圆定义及其标准方程，符合学生的认知规律，学生有能力学好本节内容;但在推导椭圆的标准方程时，学生需要自己建立坐标系，再研究推导出方程仍是一个难点。且之前未接触过一个式子中含两个根式相加的情况，故化简也能是个问题。基于此，本节课确定如下重难点。四、教学策略分析：教学方法：问题驱动式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围。让学生自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．学法指导：改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。采用以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展.通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥.教学手段：多媒体辅助教学、动手实验.教学准备:课件（包括PPT课件、几何画板课件）、准备画椭圆工具（包括一块木板、两颗钉子、一根细绳）.五、教学过程：为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，计划将教学过程设计为四个阶段：通过实验让学生画出圆、椭圆、线段，让学生建立起三者之间的联系↓播放微课回忆圆的研究过程，为学生类比圆的学习研究椭圆做铺垫↓小组合作交流，展示讨论成果，总结出椭圆的定义及标准方程↓通过对例题求解，深化学生对椭圆的定义及标准方程的理解↓课堂小结与作业（一）创设情境，引入新课教师：①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？学生：动手在黑板上进行演示，画出圆。教师：②将固定在同一个定点的绳子的两端沿一条直线运动，使其固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？学生：拿出提前准备好的工具，同学同桌合作在白纸上画，教师可以现场录制一组，之后借助希沃白板播放，让学生观看。（设计意图：以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画圆、椭圆，给学生一个动手实验的机会;让学生经历知识的形成过程，积累感性经验，通过实践思考，为进一步上升到理论做准备.）(二)总结归纳，形成定义教师：椭圆的图形我们已经画出，下面我们应该研究什么了？学生：椭圆上的点所满足的条件，归纳出椭圆的定义。教师：很好！那我们选择其中一个椭圆。考虑椭圆在形成的过程中，哪些量没有变？哪些量变了？学生：笔尖到两个图钉的距离和没有变，都等于绳长，两个图钉之间的距离也没有变，但笔尖的位置在变化。教师：你观察的很仔细，请坐。我们说不变的量才叫做性质。那下面你能类比圆的定义（平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆）给出椭圆的定义吗？学生：平面内与两个定点21,FF的距离的和等于定长的点的轨迹叫椭圆.教师：语言表达的很流畅，那根据上课开始我们做的实验，考虑一下，这个定长有无限制条件？学生：噢！定长要大于21FF，因为定长如果等于21FF的话，轨迹就是线段了。教师继续追问：那如果定长小于21FF呢？学生：不可能。教师：对！所以此时的轨迹就是不存在。因此平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫椭圆；当常数等于21FF时，点的轨迹为:线段21FF；当常数小于21FF时，点的轨迹不存在。（设计意图1．在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在变化的过程中建立起用联系与发展的观点看问题.2．结合几何画板演示，形象直观的说明定义中的必备条件，体会数学的理性与严谨.）教师：那你认为椭圆的定义中，我们需要注意哪几个关键词？学生：（1）.平面—大前提；（2）.任意一点到两个定点的距离的和等于常数2a；（3）.常数2a大于焦距2c.教师：这里，我们把两个定点1F，2F叫作椭圆的焦点．．．．．，两个焦点1F，2F间的距离叫作椭圆的焦距．．．．．。你是否理解了刚才我们所学习的椭圆的定义，请做一下下面几个小题。（三）应用举例，及时评价例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.（1）到12(1,0),(1,0)FF的距离之和为4的点M的轨迹.（2）到12(1,0),(1,0)FF的距离之和为2的点M的轨迹.（3）到12(1,0),(1,0)FF的距离之和为1的点M的轨迹.（设计意图：恰当处理预设与生成的关系，运用反馈调节机制，及时评价，激励学生的学习热情.）学生：口答问题。（四）类比研究，推导方程教师：继续回忆圆的研究过程，知道了椭圆的定义后，下面我们要研究什么了？下面请同学们观看微课，回忆我们当时是如何研究圆的。微课内容：复习研究圆的标准方程的基本方法：建系、设点、列式、化简、证明（可省略）。教师：下面我们就需要求椭圆的方程了。第一步是建系。下面四种建系方式，哪一种针对求椭圆的标准方程比较好？xyOxyOxyOxyO（设计意图：激活学生已有的认知结构,用类比思想为研究椭圆找到了方法与策略.椭圆方程不止一种，建立的坐标系不同，椭圆方程的表达形式也不同，让学生学会怎样建系可以使椭圆的方程更简洁。在研究圆的微课中提前渗透根据对称建系，方程更简洁。）教师：第二步是？学生：设点，设yxM，为椭圆上的任意一点。教师：第三步？学生：列式。将条件式代数化，得aycxycx2)()(2222。教师：那第四步呢？学生：化简。教师：圆的方程涉及一个根号，所以我们采用直接平方去掉根号即可，那现在这个式子含有两个根号，直接平方好化简吗？试一下！教师：前后四人作为一个小组合作交流一下？看看怎么办？交流完后，教师说哪个小组代表来表达一下你们的观点？学生：两个根号在一侧不好化简，可以给这个式子变一下形转化成我们熟悉的一个根号的问题再化简，即移项。教师：那试一下是否可以？(设计意图：通过小组合作突破难点“怎么化简带根式的式子”.学生会提出两种方案：一、是直接将根式平方。二、是将其中一个根式平移再平方.这时教师让学生进行小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点.教师引导，发现以上同学们提出的这两种方法都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简单.）学生：各自在练习本上自行化简，在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1位学生的推导过程实物投影展示出来，并请学生本人作简要陈述．教师：观察22,yx的系数以及常数项，考虑怎样能让方程22222222caayaxca更简洁？学生：两边同除222caa。（在数列学习中学生有这种经验）教师：那还能让方程122222cayax再简洁？学生：再简洁？教师：你在哪见过22ca？学生：勾股定理中有222cab。教师：所以我们可以令222cab得椭圆的方程为)0(12222babyax，该方程叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程.(设计意图：暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法，使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美，简洁美。)教师：刚才我们说过，在直角三角形中有勾股定理222cab，即222cba，那你能在下面的图中找出表示cba,,的线段吗？（设计意图：对照图形加以引导，数形结合让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用.）学生：bOMcOFaMF,,11教师：所以说我们令222cab，是有一定的几何意义的，不是随便令的。（学生若有所思的点头）教师：如果椭圆的焦点在y轴上，那椭圆的方程又如何？方法1：焦点坐标变为),0(),0(21cFcF，，重复推导过程，布置为作业.方法2：由学生动手列式，acyxcyx22222，引导学生观察焦点在x轴上与焦点在y轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在y轴上椭圆的标准方程)0(12222babxay，这个方程叫焦点在y轴上的椭圆的标准方程.（设计意图：利用类比对称，划归的思想让学生体会问题的本质所在，只是位置不同，图形是一致的，得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，避免繁杂计算.）（五）去伪存真，知识运用焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程：12222byax（0ba）12222bxay（0ba）教师：1.椭圆的标准方程中三个参数,,abc的关系怎样?2.如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？学生：小组讨论。学生总结方程特征：1.2220.abcab，2．哪个变量下的分母大,焦点就在哪个轴上.（设计意图：通过归纳总结让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.有助于教学目标的实现，培养学生的总结归纳能力，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其它知识的学习打下基础.）教师：记忆这两个方程可以类比直线的截距式方程。本节课我们对类比思想的运用可以说是无处不再，相信以后再学习双曲线和抛物线时，你就不需要我了，完全可以自己类比学习了。学生：哈哈大笑。教师：那你能借助于已知条件求椭圆的标准方程吗？请做一下例2.例2．（1）求到12(1,0),(1,0)FF的距离之和为4的点M的轨迹方程.（2）求到12(0,1),(0,1)FF的距离之和为4的点M的轨迹方程.（3）求两个焦点的坐标分别是12(1,0),(1,0)FF，并且经过点1,3P的椭圆的标准方程．（设计意图：第一个练习是前面的例题，判断出轨迹是椭圆后，继续拿来求其标准方程；第二个练习让学生熟悉焦点在y轴上的标准方程；第三个练习让学生先类比前面的例题经验用定义解决，再引导学生类比圆的方程的求法用待定系数法解决。）学生：板演。学生点评。（学生大部分用定义法）教师：对于第三个练习，类比圆的方程的求法，你还有其它的解法吗？学生：待定系数法，简述过程。（六）提炼升华，课堂小结思考:1.本节课学习的主要知识是什么?2.求椭圆标准方程常用方法是什么？3.本节课涉及到了哪些数学思想方法？答：一个定义（椭圆的定义）；两个方法（定义法和待定系数法）；三种数学思想（数形结合思想；转化化归思想；分类讨论思想）。（七）课后作业，承上启下书面作业：1．推导焦点在y轴上的椭圆的标准