第2章 静电场分析

第2章静电场分析第2章静电场分析2.1电场强度与电位函数2.2静电场的基本方程2.3电介质的极化与电通量密度2.4导体的电容2.5静电场的边界条件2.6恒定电场2.7静电场边值问题习题第2章静电场分析2.1电场强度与电位函数2.1.1库仑定律库仑定律（Coulom'sLaw）是静电现象的基本实验定律，它表明固定在真空中相距为R的两点电荷q1与q2之间的作用力：正比于它们的电荷量的乘积；反比于它们之间距离的平方；作用力的方向沿两者间的连线；两点电荷同性为斥力，异性为吸力（如图2-1所示），表达式为第2章静电场分析RRqqRqqaFR302120211244（2-1-1）图2-1两个点电荷的相互作用F12q2Rq1第2章静电场分析2.1.2电场强度1.点电荷的电场强度设q为位于点S(x′,y′,z′)处的点电荷，在其电场中点P(x,y,z)处引入试验电荷qt，如图2-2所示。根据库仑定律，qt受到的作用力为F，则该点处的电场强度（ＥlectricFieldIntensity）定义为3004limRqRqFEtqt（2-1-2）第2章静电场分析图2-2场点与源点Oxzyrr),,(zyxrrR),,(zyx源点场点第2章静电场分析为了方便，我们将观察点P称为场点，其位置用不带撇的坐标(x,y,z)或r来表示，把点电荷所在的点S称为源点，其位置用带撇的坐标(x′,y′,z′)或r′来表示，源点到场点的距离矢量可表示为R=r-r′。在直角坐标系中，R=ax(x-x′)+ay(y-y′)+az(z-z′)，其大小为222)()()(zzyyxxR。由于32111RRRaRRaRRR（2-1-3）第2章静电场分析因此，式（2-1-2）又可以表达为RqE140（2-1-4）当空间中同时有n个点电荷时，场点的电场等于各点电荷qi在该点产生的电场强度的矢量和，即E=E1+E2+…+En=iiniRq1401（2-1-5）第2章静电场分析2.分布电荷的电场强度上述的分析，我们假设电荷是集中在一个点上，从宏观的角度讲，电荷是连续的分布在一段线上、一个面上或一个体积内的，因此，我们先定义电荷分布。线电荷密度（ChargeLineDensity）：当电荷分布在一细线（其横向尺寸与长度的比值很小）上时，定义线电荷密度为单位长度上的电荷lqll0lim（2-1-6）式中，Δq是长度元Δl上的电荷。第2章静电场分析面电荷密度（ChargeArealDensity）：当电荷分布在一个表面上时，定义面电荷密度为单位面积上的电荷SqSS0lim（2-1-7）式中，Δq是面积元ΔS上的电荷。第2章静电场分析图2-3体电荷产生的场P(r)rrRVVdO第2章静电场分析体电荷密度（ChargeVolumeDensity）：如果电荷分布在一个体积空间内，定义体电荷密度为单位体积内的电荷VqVV0lim（2-1-8）式中，Δq是体积元ΔV内所包含的电荷。第2章静电场分析下面我们来讨论分布电荷所产生的电场强度。设电荷以体密度ρV(r′)分布在体积V内。在V内取一微小体积元dV′如图2-3所示，其电荷量dq=ρV(r)dV′，我们将其视为点电荷，则它在场点P(r)处产生的电场为VdRRrRRdqdEV30304)(4第2章静电场分析体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为VdRrVRdRrEVVVV1)(41)(41030第2章静电场分析用类似的方法可求得电荷分布为ρS(r′)和ρl(r′)时电场强度的表达式分别为ldRrlRdRrESdRrSRdRrEllllSSSS1)(41)(411)(41)(41030030（2-1-10）（2-1-11）式（2-1-9）、（2-1-10）和（2-1-11）称为电场强度的矢量积分公式。当我们已知电荷分布时，就可由它们求得其电场强度。第2章静电场分析【例2-1】有限长直线l上均匀分布着线密度为ρl的线电荷,如图2-4所示，求线外一点的电场强度。图2-4有限长直线电荷的电场2l2lz2dzRz1dEdEdEzP(,,z)yO第2章静电场分析图2-5无限长线电荷的场第2章静电场分析2.1.3电位函数在静电场中，某点P处的电位定义为把单位正电荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功。若正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为W，则P点处的电位为dlEqWQPtqt0lim（2-1-13）第2章静电场分析当电荷不延伸到无穷远处时，一般把电位参考点Q选在无限远处，这将会给电位的计算带来很大的方便。这时，任意P点的电位为dlEP（2-1-14）将式（2-1-2）代入上式得点电荷的电位表达式为Rq140（2-1-15）第2章静电场分析这就是点电荷产生的电位。上式中隐含无穷远处电位为零。将（2-1-4）写成如下形式：RqE140不难发现，电位与电场强度有如下关系E=-▽φ（2-1-16）第2章静电场分析如果电荷以体密度ρV(r′)分布于体积V内，在式（2-1-9）中，将积分（对带撇的变量积分）与微分（对不带撇的变量微分）符号互换，得VVVdRrE)(410（2-1-17）第2章静电场分析类似的方法可得电荷分布为ρS(r′)和ρl(r′)时电位函数（ElectricPotentialFunction）的表达式分别为ldRrSdRrllSS)(41)(4100（2-1-18）（2-1-19）式（2-1-17）至式（2-1-19）都是将参考点选在无穷远处。第2章静电场分析【例2-2】真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试计算球内外的电位与电场强度。图2-6孤立带电导体球的场azPRraOSd),,(aS第2章静电场分析图2-7带电导体球的场分布等位体导体球E＝0导体内第2章静电场分析2.1.4电偶极子电偶极子(ElectricDipole)是指相距很近的两个等值异号的电荷。设每个电荷的电量为q，它们相距为d，如图2-8所示。现在我们选用球坐标来求电偶极子在点P的电位及电场。根据点电荷电位的表达式，电偶极子在P点的电位为212101204114rrrrqrrq第2章静电场分析图2-8电偶极子的场ZPqdxOyr2rr1第2章静电场分析当两电荷之间距相对于到观察点的距离非常小,即rd时，r1,r2,r三者近乎平行，因此有r1-r2≈dcosθr1r2≈r2将其代入上式得电偶极子的电位表达式为204cosrqd（2-1-20）第2章静电场分析我们定义电偶极矩矢量(DipoleMomentVector)p的大小为p=qd，方向由负电荷指向正电荷，即p=azqd（2-1-21）则P点的电位可以写成下列形式:202044cosraprqdr（2-1-22）第2章静电场分析对式（2-1-20）取负梯度得电偶极子在P点处的电场强度为)sincos2(430aarpEr(2-1-23)第2章静电场分析图2-9电偶极子的电场线零电位面电力线yz＜0＞0第2章静电场分析2.2静电场的基本方程2.2.1电通（量）和电通（量）密度把一个试验电荷qt放入电场中，让它自由移动，作用在此电荷上的静电力将使它按一定的路线移动，这个路线我们称之为力线（LineofForce）或通量线(FluxLine)。第2章静电场分析若把电荷放在不同的位置，就能描绘出任意多条力线。为了不使区域内被无数条力线塞满，通常人为地规定一个电荷产生的力线条数等于用库仑表示的电荷的大小，于是说场线(FieldLine)表示电通量(ElectricFlux)。虽然电通线实际上不存在，但它们可以直观、形象地描绘电场的分布，如图2-10所示。第2章静电场分析图2-10孤立正电荷的电通EEEEEEEEqtqtqtqtqtqtqtqt第2章静电场分析早期研究发现，电通量有如下特性：（1）与媒质无关；（2）大小仅与发出电通量的电荷有关；（3）如果点电荷被包围在半径为R的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面；（4）单位面积上的电通量，即电通密度，反比于R2。第2章静电场分析而电场强度除了大小与媒质的介电常数有关外，也满足这些约束，因此可以用电场强度定义电通密度（ElectricFluxDensity）D为D=ε0E（2-2-1）显然，点电荷q在半径R处的电通密度为24RqaDRD的单位为C/m2（库仑/平方米）。第2章静电场分析由矢量分析得：穿过某个曲面S的电通量定义为dSDS（2-2-3）如果D与dS方向相同，则穿过曲面S的电通量最大。第2章静电场分析2.2.2高斯定律设在无限大真空中O点有一点电荷q，以任意曲面S包围该点电荷，则穿出这个封闭曲面的电通量为dqdSRnaqdSDSRSS424（2-2-4）式中dΩ是表面dS在O点所张的立体角。第2章静电场分析由于任何封闭面对曲面内的一点所张的立体角都是４π，所以通过曲面S的总电通量为qdSDS（2-2-5）如果电荷的总量为Q，并以体密度ρV分布在闭合面包围的体积内，则式（2-2-5）可以写成QdVdSDVVS（2-2-6）第2章静电场分析式（2-2-6）表明，如果已知封闭面上的电场强度或电通密度，通过高斯定律便可求出封闭面内的总电荷。如果电荷呈对称分布，则很容易选择一个恒电通密度的面，从而用高斯定律大大降低分析电场问题的难度。应用散度定理，式（2-2-6）也可写成dVDdVVVV因此，有▽·D=ρV（2-2-7）第2章静电场分析如果在真空中，式（2-2-7）还可以写为0VE（2-2-8）在介电常数为ε的介质中有VE（2-2-9）第2章静电场分析【例2-3】用高斯定律求无限长线电荷ρl在任意P点产生的电场强度。图2-11无限长线电荷的场PllD＝常量第2章静电场分析2.2.3电场强度的环量设电场强度为E，l为场中任意闭合路径，电场强度沿闭合路径的积分称为环量。根据斯托克斯定理有0)(dSdSEdlESSl即00EdlEl（2-2-10）（2-2-11）第2章静电场分析2.3电介质的极化与电通量密度理想的电介质（IdealDielectric）内部没有自由电子，它的所有带电粒子受很强的内部约束力束缚着，因此称为束缚电荷(BoundCharge)。第2章静电场分析就物质的分子结构来讲，电介质的分子可以分成无极分子和有极分子两大类。在通常情况下，无极分子正负电荷的作用中心是重合的，如图2-12（a）所示，有极分子正负电荷的作用中心不相重合而形成一个电偶极子，但由于分子的热运动，不同电偶极子的偶极矩的方向是不规则的，因此就宏观来说，它们所有分子的等效电偶极矩的矢量和为零，因而对外不呈现电性。第2章静电场分析但在外加电场力的作用下，无极分子正、负电荷的作用中心不再重合，有极分子的电矩发生转向，这时它们的等效电偶极矩的矢量和不再为零,如图2-12（b)所示。这种情况称为电介质的极化(Polarized)。极化的结果是在电介质的内部和表面形成极化电荷，这些极化电荷在介质内激发出与外电场方向相反的电场，从而使介质中的电场不同于介质外的电场。第2章静电场分析图2-12(a)正常状态下正负电荷中心重合；(b)极化电介质的等效电偶极矩±±±±±±±±±±±±±±±－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋外加电场外加电场(a)(b)第2章静电场分析设介质在