概率论与数理统计题库(1)

一、事件的关系与运算1、设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（A）（A）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.（B）“甲种产品滞销”.（C）“乙种产品畅销”.（D）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.二、五大公式：1、已知事件A，B有概率4.0)(AP，5.0)(BP，条件概率3.0)|(ABP，则)(BAP0.62．1、已知事件A，B有概率4.0)(AP，5.0)(BP，条件概率3.0)|(ABP，则)(BAP0.78；1、已知事件A，B有概率4.0)(AP，条件概率3.0)|(ABP，则)(BAP0.28；1、设A、B、C是三个事件，3/1)()()(CPBPAP，0)()(ACPABP，4/1)(BCP，则)(CBAP3/4（或0.75）；1、设A、B、C是三个事件，4/1)(AP，3/1)(ABP，2/1)(BAP，则)(BAP1/3；1、设“甲地发生春季旱情”A、“乙地发生春季旱情”B是两个随机事件，且4/1)(AP，3/1)(ABP，2/1)(BAP，则情”“甲或乙地发生春季旱C发生的概率为1/3；1、已知4/1)()()(CPBPAP，0)(ABP，6/1)()(BCPACP，则)(CBAP5/12；1、设“甲地房价下跌”A、“乙地房价下跌”B是两个随机事件，且4/3)(AP，3/2)(ABP，2/1)(BAP，则“甲或乙地房价下跌”C发生的概率为；1．设事件A、B互不相容，pAP)(，qBP)(，则)(BAP（A）qp)1(.（B）pq.（C）qp.（D）p.（D）1、若6.0)(,4.0)(,5.0)(BAPBPAP，则)(ABP（C）(A)0.2；(B)0.45；(C)0.6；(D)0.75；1、若2/1)(,3/1)(,4/1)(BAPABPAP，则)(BAP（C）(A)1/5；(B)1/4；(C)1/3；(D)1/2；1、从多年的教学经验可知，一名二年级同学参加英语CET4培训班集中培训后能超过425分的概率为0.8，不参加培训而能超过425分的概率为0.4。假如这次有70%的同学参加了培训。（1）任取我们班一名同学，求该同学超过425分的概率？（2）如果一名同学得分超过425分，则他参加过培训的概率有多大？解：设事件A=“参加培训”，B=“英语CET4成绩超过425分”，则8.0)(ABP8.0)(ABP，4.0)(ABP，7.0)(AP3.0)(AP，所以（1）68.04.03.08.07.0)()()()()(ABPAPABPAPBP。（2）823529.068.08.07.0)()()()()()(BPBAPAPBPABPBAP。1、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%，并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%。问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？解：设1A表示“螺丝钉由甲台机器生产”，2A表示“螺丝钉由乙台机器生产”，3A表示“螺丝钉由丙台机器生产”，B表示“螺丝钉不合格”。（1）由全概率公式)()()()()()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP=0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345；（5分）（2）由贝叶斯公式362319.00345.005.025.0)()()()(11BPABPAPBAP（3分）1、金鱼的主人外出，委托朋友换水，设已知如果不换水，金鱼死去的概率为0.8，若换水，则金鱼死去的概率为0.15。有0.9的把握确定朋友会记得换水。问：（1）主人回来金鱼还活着的概率？（2）若主人回来金鱼已经死去，则朋友忘记换水的概率为多大？解：设A表示“朋友换水”，B表示“金鱼还活着”，则9.0)(AP，1.0)(AP，85.015.01)(ABP，15.0)(ABP，2.0)(ABP，8.0)(ABP，（1）由全概率公式)()()()()(ABPAPABPAPBP=0.9×0.85+0.1×0.2=0.785；…………………………………（5分）（2）由贝叶斯公式372093.0785.018.01.0)()()()(BPABPAPBAP……（8分）1、已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设“任取一产品，经检验认为是合格品”……………………（2）“任取一产品确是合格品”则（1）……………………（3）（2）.……………………（2）1、有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选的中盒子中任取一球。求：（1）取出的球是白球的概率；（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。解：设A=“选中的为甲盒”，A=“选中的为乙盒”，C=“选中的为丙盒”，D=“取出一球为白球”，已知312(),(),()666PAPBPC，123(|),(|),(|)336PDAPDBPDC………………………………(3分)（1）由全概率公式3112234()6363669PD……………………(2分)（2）由Bayes公式31363(|)489PAD………………………………(2分)1、发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“·”和“—”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台未必收到“·”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“—”，同样当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“·”，求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）当收报台收到信号“·”时，发报台是发出信号“·”的概率。AB()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB0.90.950.10.020.857.()0.90.95(|)0.9977()0.857PABPBAPA解：设A=“发出信号‘’”，B=“发出信号‘—’”，C=“收到信号‘·’”，已知6.0)(AP，4.0)(BP，8.0)(ACP，1.0)(BCP……………(3分)（1）由全概率公式52.01.04.08.06.0)()()()()(BCPBPACPAPCP………(2分)（2）由Bayes公式131252.08.06.0)()()()(CPACPAPCAP……(2分)三、三大概型(古典、几何、伯努利)2、设10件中有3件是次品。今从中随机地取3件，则这三件产品中至少有1件是次品的概率为)24/17(/131037或CC；2、已知10件产品中由2件次品，在其中任取2次，每次任取一件，作不放回抽样，则其中一件是正品，一件是次品的概率为16/45；1、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚硬币正面向上的概率为（C）(A)1/8(B)2/8(C)3/8(D)4/8；1、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则在第4次射击时恰好第2次命中目标的概率为（B）(A)22)1(4pp；(B)22)1(3pp；(C)22)1(2pp；(D)3)1(pp；1、袋中有5个球（3个红球，2个白球），每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为（A）(A)53；(B)43；(C)21；(D)103；2、已知某型电子器件寿命X(以天计)的概率密度函数为.10,0,10,10)(2xxxxf（1）求X的分布函数).(xF（2）现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取10只，以Y表示寿命大于15天的器件的只数，求Y的分布律。解：（1）因为当10x时，00)(xdxxF，当10x时，xxdxxdxxFxx10110100)(1010210，故.10,0,10,101)(xxxxF（4分）（2）因为任意一只器件寿命X大于15天的概率为32)15(1Fp，又各器件损坏与否相互独立，所以Y服从)32,10(b，概率分布律为.10,,2,1,0,313210}{10kkkXPkk………………（8分）2、已知随机变量X的概率密度函数为.,0,0,2cos21)(其他xxxf（1）求X的分布函数).(xF（2）现对X独立地重复观察4次，以Y表示大于6/的次数，求Y的分布律。解：（1）因为当0x时，00)(xdxxF，当x0时，2sin2sin2cos210)(000xxdxxdxxFxx，当x，1)(xF，故.10,2sin,0,0)(xxxxxF，，……………………（4分）（2）因为X大于6/的概率为)12/sin(1)6/(1Fp，所以Y服从))12/sin(1,4(b，概率分布律为.4,3,2,1,0,)12/sin()12/sin(14}{4kkkXPkk………………（4分）四、一维随机变量的分布及性质5．设随机变量)2,1(~UX，令.0,1,0,1XXY，则Y的分布律为323111kpX4、随机变量X的分布函数是xxxxxF3,131,6.011,4.01,0)(，则X的分布律是4.02.04.0311kpX，)31(XP0.4；9、设随机变量X的概率密度为.1,0,1,1)(2xxxxf，令.4,2,4,1XXY，则Y的分布律为414321kpY；4、随机变量X的分布函数是xxxxxF3,131,8.011,6.01,0)(，则)31(XP0.4；2．设离散型随机变量X的分布律为kkXP}{，,2,1k且0，则参数（A）11（B）1（C）11（D）不能确定（C）2、设离散型随机变量X的分布律为kkXP}{，,2,1k，则参数（D）(A)1/5；(B)1/4；(C)1/3；(D)1/2；3、设连续型随机变量X的概率密度为xxAxf,1)(2，则参数A（D）(A)0；(B)1；(C)；(D)/1；2、设随机变量X的概率分布律为,2,1,0,}{kbbkXPk，则参数（C）(A)0的任意实数；(B)1b；(C)11b；(D)11b；五、连续型概率密度与分布函数的相关计算5、连续型随机变量的分布函数为000,1)(xxexFx，则概率密度函数为000,)(xxexfx；4、随机变量X的分布函数是.1,1,10,,0,0)(2xxxxxF，则随机变量X的概率密度函数为.,0,10,2)(其他xxxf；4、随机变量X的分布函数是.1,1,10,,0,0)(xxxxxF，则随机变量X的概率密度函数为.,0,10),2/(1)(其他xxxf；5、设随机变量的概率密度为.,0,10,4)(3其他xxxf，若}{}{aXPaXP，则a42/1；7、随机变量K在)5,0(内服从均匀分布，则关于x的方程02442KKxx有实根的概率为_____3/5（或0.6）__；3、随机变量X的概