线性变换的几何意义

本科生毕业论文论文题目：线性变换的几何背景学院专业学号学生姓名指导教师姓名指导教师职称指导教师单位年月日学位论文写作声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。论文作者签名：日期：年月日论文作者签名：导师签名：日期：年月日1线性变换的几何背景摘要线性变换可以通过几何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换精练化。本文就通过研究几何现象所表现出来的线性变换、思考矩阵与线性变换在几何意义上的关系、思考线性变换一些性质所具备的几何意义、思考线性变换的非矩阵表现形式、思考线性变换和几何联系起来解决问题的思路以及思考射影几何上的线性变换。我们可以得出线性变换是运动的、线性的，许多几何现象都是线性变换，我们可以用矩阵来研究线性变换的几何意义，但矩阵只是研究线性变换的几何意义的工具之一，线性变换许多拓展相关的问题也涉及到几何现象，并且线性变换与几何联合起来对于解决某些问题存在好处，但不同的几何体系的研究客体对于线性变换来说也存在不同方面。关键词：线性变换；几何现象；矩阵2ThegeometrybackgroundoflineartransformationAbstract：Lineartransformationcouldbevisualizedthroughthegeometricphenomena,geometricphenomenoncouldberefinedthroughthelineartransformation.Thearticleanalyzesthelineartransformation,reflectsbygeometricphenomenon,studiestherelationshipofmatrixandlineartransformationonthebasisofgeometricmeaning,researchesthegeometricmeaningsoflineartransformation,reflectstheexpressionofnonnegativematrixoflineartransformation,discussesthesolutionstothequestionsonthebasisofconnectionbetweenlineartransformationandgeometry,andconsidersthelineartransformationofprojectivegeometry.Inconclusion,thethesisfindsoutthatthelineartransformationisathletic,linear,andmanygeometryphenomenaarelineartransformation.Thematrixcouldbeusedtoanalyzethegeometrymeaningoflinearmeaning,butthematrixisoneofthetoolstostudythegeometrymeaningoflineartransformation.Manyofthelineartransformationrelatedproblemsareinvolvedinthegeometricphenomena,andthecombinationoflineartransformationandgeometryisbeneficialtothesolutionstosomeproblems,butdifferentgeometryresearchobjectshavevariousaspects.Keywords:lineartransformation;geometryphenomenon;matrix3目录一、基本定义和结论..................................................1二、几何现象中线性变换的影子........................................22.1旋转变换的几何形象...........................................22.2反射变换的几何形象...........................................32.3投影变换的几何现象...........................................42.4伸压变换的几何形象...........................................52.5其他线性变换的几何形象.......................................5三、线性变换的几何意义与矩阵的几何意义的关系........................6四、与线性变换有关的分支问题的几何意义..............................94.1、几何解释线性变换是否存在交换律.............................94.2、几何解释线性变换是否消去律.................................94.3几何解释线性变换的逆........................................104.4同一线性变换下的矩阵相似的几何直观例子......................104.5线性变换对角化的几何意义....................................114.6正交变换的几何意义..........................................114.7线性变换中特征值及特征向量的几何意义........................11五、具有几何意义的非矩阵表示的线性变换.............................11六、具体问题中线性变换与几何的息息相关.............................12七、射影几何中的线性变换...........................................137.1仿射几何中的平移变换........................................137.2仿射变换的优点..............................................147.3射影几何中线性变换分解反应出的几何意义......................14总结...............................................................16参考文献...........................................................17致谢...............................................................18北京师范大学珠海分校应用数学学院第1页共18页一、基本定义和结论我们在讨论这个问题时，首先给出几个熟悉的定义与结论。定义1：设,UV为数域K上的线性空间，:fUV为映射，且满足以下两个条件：i）、()()(),(,)fffU；ii）、()(),(,)fkkfUkK。则称为（由U到V的）线性映射，而此时如果f是线性空间U到自身的线性映射，则称它为线性变换。而定义中的i）和ii）二条件也可用下述一条代替：()()(),(,,,)klkkUklK定义2：设12,,,n是数域K上线性空间U的一组基，12,,,m是数域K上线性空间V的一组基,设f为由U到V的线性映射，U上基向量的像可由V上的基线性表出：11112121212122221122(),(),().mmmmnnnmnmfaaafaaafaaa于是1112121222121212((),(),,())(,,,)nnnmmmmnaaaaaafffaaa其中令111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa则称A为f在基12,,,n和12,,,m下的矩阵，而此时如果f是线性空间U到自身的线性映射，则称A为f在基12,,,n下的矩阵。定义3：设U和V是数域P上的两个线性空间，若满足：i）、是U到V的一个双射；2ii）、()()(),(,)U；iii）、()(),(,)kkUkP。则称是U到V的同构映射。此时称U与V是同构的。结论1：线性空间U到V上全体线性映射，对于下面定义的加法和数量乘法，也构成数域K上的一个线性空间，我们记它为(,)kHomUV。(其中,fg为由U到V的两个线性映射)。i）、()()(),()fgfgV；ii）、()()()(),()fgfgV。而此时如果f是线性空间U到自身的线性映射，我们则称线空间U上的全体线性变换，对于上面定义的加法和数量乘法，也构成数域K上的一个线性空间，我们记它为End()V。结论2：数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。线性空间的元与其坐标向量之间的对应是同构的，数域P上的n维向量空间U与n维向量空间nP是同构的。结论3：正交变换是保持点之间距离不变的线性变换。且它在任一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵。二、几何现象中线性变换的影子让我们先在欧式几何中看看，一些几何现象是否具有线性变换的影子？例如一缕阳光照射在物体在地面留下的影子的现象，某一物体发生旋转的现象，用手把一本书沿着一条对称轴翻过去的现象，用手压缩或拉伸某一固定物体的现象。2.1旋转变换的几何形象我们先看旋转，在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑把平面中每一个向量旋转90的变换22:RRfxAx，其中cos90sin90[]sin90cos90A。对于2R上的任意向量，我们先来看这一变换的几何形象（见图一和图二、图三）。北京师范大学珠海分校应用数学学院第3页共18页（图一）（图二）（图三）从图中我们可以直观看出两点：i)、x和y分别逆时针旋转90之后的向量之和等于f对xy作用得到的向量。ii）、将x的k倍逆时针旋转90之后的向量等于f对kx作用得到的向量。我们再从定义1严格验证上述变换f，可以容易得出它保持加法和数量乘法，故它是线性变换。即向量旋转90的变换是线性变换。2.2反射变换的几何形象我们再看反射，物体或图形在某种变换条件下，其相同部分间有规律重复的现象，即在一定变换下的不变现象叫做反射。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑关于的x轴反射的变换22:RRfxBx，其中10B=01。对于2R上的任意向量，我们先来看这一变换的几何形象（见图四和图五、图六）。4（图四）（图五）（图六）从图中我们可以直观看出两点：i)、x和y分别作关于x轴反射得到的向量之和等于f对xy作用得到的向量。ii）、将x的k倍作关于x轴反射得到的向量等于f对kx作用得到的向量。我们再从定义1严格验证上述变换f，可以容易得出它保持加法和数量乘法，故它是线性变换。即向量关于的x轴反射变换是线性变换。2.3投影变换的几何现象我们紧接着看投影，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）或者直线上得到的影子叫做物体的投影。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑投影到的x轴变换22:RRfxCx