二项分布的期望和方差的详细证明

二项分布的期望的方差的证明山西大学附属中学韩永权[e-mail]离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(，（0,1,2knpq1）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：0123...1nnP0nnCq11nnCpq222nnCpq333nnCpq...11nnnCpqnnnCp称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．1求证：服从二项分布的随机变量的期望Enp.证明如下：预备公式：11kknnkcnc100110220211(1)()11011111()(......)nnnnkknnknnnnnnnpqcpqcpqcpqcpqcpq因为()(1),kknkkknknnpkcppcpq所以001112220012......nnnkknknnnnnnnEcpqcpqcpqkcpqncpq=00110220211(1)()11011111(......)nnnkknnknnnnnnnnpcpqcpqcpqcpqcpq=1()nnppqnp所以Enp方法二：证明：若),(~pnBX，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数，现在我们来求X的数学期望。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi011,2,in则12...nXXXX，因为PXPi)1(，qPXPi1)0(所以ppqXEi10)(，则)(XEnpXEXEniinii11)(][可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。2求证：服从二项分布的随机变量的方差公式(1)Dnpqqp预备公式：21212(1)kkknnnkCnCnnC211kknnkCknC11[(1)1]knnkC1111(1)kknnnCnkC1212(1)kknnnCnnC21212(1)kkknnnkCnCnnC方法一：证明：22()DEE220niininiEiCpq11121222(1)nnniiniiininnniiCpqnCpqnnCpq1110122211212(1)nnniininiininnniinpqnpCpqnpCqnnpCpq11122()(1)()nnnnnpqnppqnpqnnppq112(1)nnnpqnpnpqnnp222npnpnp22(1)nppnp22npqnp由公式22)]([)()(XEXEXD知，22()DEE222()(1)npqnpnpnpp方法二：设~(,)Bnp,则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi011,2,in则1nii是n次试验中“成功”的次数，()01iEqpp，故222()()[()](1)iiiDEEpppp，1,2,,in由于12,,...,n相互独立，于是1()()(1)niiDDnpp