4-3 贝塞尔函数的基本性质chen

主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数本节我们要建立反映不同阶的贝塞尔函数之间的联系的递推公式.中令n=0及n=1得:20(1)()()(0,1,2,)!()!2mnmnmxJxnmnm∞+=−==+∑…首先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.在主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数24620242622235721135721()1(1)22(2!)2(3!)2(!)()(1)222!22!3!23!4!2!(1)!kkkkkkxxxxJxkxxxxxJxkk++=−+−++−+=−+−++−+⋅⋅⋅+…………对第一个级数的第k+2项求导,得主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数222112222222121d(22)(1)(1)d2[(1)!]2[(1)!](1)2!(1)!kkkkkkkkkxkxxkkxkk++++++++−=−−++=−−+01d()()dJxJxx=−将乘以x并求导数,得1()Jx24221321dd[()][(1)]dd222!2!(1)!kkkxxxxJxxxkk++=−++−+⋅+……主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数10d[()]()dxJxxJxx=将以上结果推广,得222021210dd[()](1)dd2!(1)!(1)2!()!nmnmnnmmnmnmnmmxxJxxxmnmxxmnm+∞+=+−∞+−==−Γ++=−Γ+∑∑22222[1(1)]22(!)kkkxxxk=−++−+……1()nnxJx−=主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数即1d[()]()dnnnnxJxxJxx−=同理可得1d[()]()dnnnnxJxxJxx−−+=−1()()()nnnxJxnJxxJx+′−=−1()()()nnnxJxnJxxJx−′+=两式相减112()()()nnnJxJxnJxx−++=(a)主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数1()()()nnnxJxnJxxJx+′−=−1()()()nnnxJxnJxxJx−′+=两式相减112()()()nnnJxJxnJxx−++=(a)11()()2()nnn两式相加JxJxJx−+′−=以上几式即为贝塞尔函数的递推公式.利用(a)式,我们就可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表达出来.1()()()nnnxJxnJxxJx+′−=−1()()()nnnxJxnJxxJx−′+=两式相减112()()()nnnJxJxnJxx−++=(a)11()()2()nnn两式相加JxJxJx−+′−=以上几式即为贝塞尔函数的递推公式.利用(a)式,我们就可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表达出来.主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数对于所有的正整数对于所有的正整数,mν=()mJx都可以用都可以用0()Jx1()Jx和和0(())Jx′=−线性表示出来。线性表示出来。01()(),JxJx′=−01()(),JxJx−′=所以所以1d[()]()dnnnnxJxxJxx−=1d[()]()dnnnnxJxxJxx−−+=−110()()().JxJxJx−′=−=−所以所以主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数112()()()xJxJxxJx′−=−1()()()nnnxJxnJxxJx+′−=−1()()()nnnxJxnJxxJx−′+=110()()(),JxxJxxJx′+=1202()()(),JxxJxxJx=+2102()()().JxJxJxx=−主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数类似地,我们可以得出第二类贝塞尔函数的递推公式:111111d[()]()dd[()]()d2()()()()()2()nnnnnnnnnnnnnnxYxxYxxxYxxYxxnYxYxYxxYxYxYx−−−+−+−+⎧=⎪⎪⎪=−⎪⎨⎪+=⎪⎪′⎪−=⎩主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数现在我们来讨论贝塞尔方程的固有值问题2221()()0(13)(0)(14)()0,(15)xaddyxyxdxdxxydyydxνωαβ=⎧+−=⎪⎪⎪+∞⎨⎪⎪+=⎪⎩主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数其中和是不同时为零的非负常数，固有值为其中和是不同时为零的非负常数，固有值为αβ2.λω=方程(13)的通解为方程(13)的通解为在自然边界条件下,在自然边界条件下,利用边界条件，得利用边界条件，得()()0JaJaνναωωβω′+=()()(),yxCJxDNxννωω=+()()yxCJxνω=主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数即是这个方程的根。即是这个方程的根。ω固有值有可列无穷个，设固有值有可列无穷个，设2λω=120nωωω则相应的固有函数组成固有函数系则相应的固有函数组成固有函数系{}()(1,2,3).nJxnνω=下面证明，固有函数系下面证明，固有函数系{}()nJxνω在区间[0,a]在区间[0,a]上带权x正交，即上带权x正交，即0()()0().(17)amnxJxJxdxmnννωω=≠∫主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数下面证明，固有函数系下面证明，固有函数系{}()nJxνω在区间[0,R]在区间[0,R]上带权x正交，即上带权x正交，即0()()0().amnxJxJxdxmnννωω=≠∫主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数设和分别是对应与固有值设和分别是对应与固有值()mJxνω()nJxνω2mω和和2nω的固有函数，则的固有函数，则22(())()()0,mmmddxJxxJxdxdxxνννωωω+−=22(())()()0.nnnddxJxxJxdxdxxνννωωω+−=主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数以和分别乘以这两个方程，以和分别乘以这两个方程，()nJxνω()mJxνω22()(())()()()0,nmmnmddJxxJxxJxJxdxdxxνννννωωωωω+−=22()(())()()()0.mnnnmddJxxJxxJxJxdxdxxνννννωωωωω+−=两式相减，并且从0到R积分两式相减，并且从0到R积分主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数两式相减，并且从0到R积分两式相减，并且从0到R积分220()()()amnmnxJxJxdxννωωωω−∫0[()(())()(())]amnnmddddJxxJxJxxJxdxdxdxdxdxννννωωωω=−∫000[()()()()](())(())(())(())amnnmamnanmddxJxJxJxJxdxdxddJxxJxdxdxdxddJxxJxdxdxdxννννννννωωωωωωωω=−−+∫∫注：注：()().nnndJxJxdxννωωω′=主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数(()()()()),(17)nmnmmnaJaJaJaJaνννννωωωωωω′′=−因为和满足齐次边界条件，所以因为和满足齐次边界条件，所以()mJxνω()nJxνω()()0,mmmJaJaνναωωβω′+=()()0.nnnJaJaνναωωβω′+=αβ由假设和不同时为零，其系数行列式必定为零，由假设和不同时为零，其系数行列式必定为零，αβ()()()()mmmnnnJaJaJaJaννννωωωωωω′′()()()()0.mmnnnmJaJaJaJaννννωωωωωω′′=−=主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数所以所以22n0()()()0.ammnxJxJxdxννωωωω−=∫但是因此但是因此,,mnmnωω≠≠0()()0.amnxJxJxdxννωω=∫主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数积分积分20()axJxdxνω∫（为某个固有值），（为某个固有值），2ω1220(())axJxdxνω∫的平方根称为贝塞尔函数的模，的平方根称为贝塞尔函数的模，()Jxνω记为记为1220()(()).aJxxJxdxννωω=∫主页上一页下一页退出数学物理方程与特殊函数2212222'222222'222()()021()()()()021()(),()()02aJaJaJxaJaJaaaJaaJaJaυυνυυυυυωωυωωωωυβωωωβωωωα+⎧=⎪⎪⎪=−=⎨⎪⎪−++=⎪⎩模的平方在三类齐次边界条件下的表达式：模的平方在三类齐次边界条件下的表达式：