2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题与答案

12013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题与答案一、填空题（每小题8分，满分64分）1、已知sincos,cossin2，则22sincos_______.解：0或3.2已知两式平方相加，得2sin0或21cos.4222sincos2sin0或3.22、不等式632(2)(2)xxxx的解集为_________.解：(,1)(2,).原不等式等价于623(2)(2).xxxx设3()fxxx，则()fx在R上单调增.所以，原不等式等价于22()(2)212.fxfxxxxx或3、已知(表示不超过x的最大整数)，设方程12012{}2013xx的两个不同实数解为12,xx，则2122013()xx__________.解：2011.由于1{}[0,1),(0,1)2013x，所以112012(1,1).20122012xx当102012x时，原方程即21120121201320122013xxx；当102012x时，原方程即2212012201312013xxx.4、在平面直角坐标系中，设点*(,)(,)AxyxyN，一只虫子从原点O出发，沿x轴正方向或y轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A的不同路线数目记为(,)fxy.则(,2)fn_______.解：1(1)(2).2nn111(1,2)323,(2,2)634,(3,2)1045.222fff猜测1(,2)(1)(2)2fnnn，可归纳证明.5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为___________.解：3或11.分别以三个面两两的交线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.2设点P坐标为(4,5,5)，小球圆心O坐标为(,,).rrr所以，222(4)(5)(5)311.rrrrr或6、将20132012表示成两个*1()nnNn型分数的乘积的不同方法数是________.（其中ab与ba是同一种表示方法）解：24.设,pq是正整数，满足201311201220132012.20122012pqppqq220122013231161503的正因数的个数为4(12)(11)48.注意到(,)()pqpq与(,)qp是相同的表示方法，故所求的方法数为24.7、设E为正方形ABCD边AB的中点，分别在边AD、BC上任取两点P、Q，则∠PEQ为锐角的概率为__________.解：3ln4.4设正方形边长为1，,APxBQy.则1()()0.4EPEQEAAPEBBQEAEBAPBQxy从而，14xy.又01,01xy.故所求概率为两直线1,1xy及曲线14xy所围成图形的面积与边长为1的正方形的面积之比，即1214313ln41:1.4444x8、已知实系数一元二次方程20axbxc有实根，则使得2222()()()abbccara成立的正实数r的最大值为____________.解：max9.8r不妨设1a，方程20xbxc的两实根为12,xx.由韦达定理，1212,.bxxcxx222222()()()(1)()(1)abbccabbcc22212121212(1)()(1)xxxxxxxx2211222(1)(1)xxxx2212131392[()][()].24248xx从而，98r，当1212xx时等号成立.3二、解答题（第一道小题满分16分，后两道小题每题满分20分）9、已知数列{}na的各项均为正数，121,3aa，且对任意*nN，都有2122nnnaaa．问：是否存在常数，使得21nnnaaa对任意*nN都成立？解：在2122nnnaaa中，令1n，得37.a若存在常数使得21nnnaaa，则1328.3aaa∵2122nnnaaa，∴2*112(2,)nnnaaannN.∴222212111112nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa.由于0na，上式两边同除以1nnaa，得1121(2).nnnnnnaaaanaa所以，21113128.3nnnnnnaaaaaaaaa即存在常数83，使得21nnnaaa对任意*nN都成立.10、已知两点)0,26(),0,26(DC，设A，B，M是椭圆2214xy上三点，满足3455OMOAOB，点N为线段AB的中点，求||||NCND的值.解：设1122(,),(,)AxyBxy，则222212121,1.44xxyy①由3455OMOAOB，得12123434(,)5555Mxxyy.∵M在椭圆2214xy上，21221234()3455()1.455xxyy②综合①②得，12120.4xxyy又线段AB的中点为1212(,)22xxyyN，∴212222221212121212()1112()()()()42444424xxyyxxxxyyyy111.442上式表明，点N在椭圆22212xy上，且该椭圆两焦点恰为)0,26(),0,26(DC两点.4所以，由椭圆定义有||||22.NCND11、已知*(,)mnmnN，两个有限正整数集合,AB满足：||||,||ABnABm（这里用||X表示集合X的元素个数）.平面向量集{,}kukAB满足1ijiAjBuu.证明：22||.kkABumn证明：不妨设{1,2,,},{1,2,,2}.AnBnmnmnm令121221,nmnnnmaaaaaa124.nmnmnaaa由柯西不等式，注意到212()42().nmiianmmnm从而，22212||||.nmkikABiuumn