测量与地图学3

第二章地图的数学基础•3.地图投影的定义•球面上任一点的位置用地理坐标（φ、λ）表示，而平面上点的位置用直角坐标（x,y）或极坐标（r，θ）表示，所以要将地球球面上的点转移到平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与平面坐标之间的关系。•这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。二、地图投影的基本方法•1.几何投影（透视投影）：假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。地图投影面除平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。•利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫几何投影或几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面矛盾的方法。•2.数学解析法：随着科学的发展，几何透视法远不能满足编制各类地图的需要，出现了解析法。解析法是不借助于几何投影光源（而仅仅借助于几何投影的方式），按照某些条件用数学分析法确定球面与平面点与点之间一一对应的函数关系。•X=f1(φ、λ)•Y=f2(φ、λ)•函数f1、f2的具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。•球面上任意一点的位置决定于它的经纬度，实际投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线网。•地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。三、地图投影的变形•1.地图投影变形的概念由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，无论采用什么投影，投影后经纬网形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形，而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。为正确使用地图，必须了解投影后产生的变形，所以变形问题是地图投影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价值。•地球仪上的经纬线网格面积的特点：•1、在同一纬度带内，经差相同的球面网格面积相等•2、在同一经度带内，纬度愈高，网格面积愈小•地球仪上的经纬线角度的特点：•在下图中，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交，这表明地图上有角度变形•2.投影变形的相关概念•（1）变形椭圆在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接触点位置外，一般情况下为椭圆，下面我们用数学方法验证一下。•设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为：x2+y2=1•A位于以经纬线为直角坐标轴X、Y的坐标系上，X’、Y’为投影后坐标轴，A‘(x’，y’)是A(x，y)的投影，令经线长度比为m，纬线长度比为n，则:•x’/x=m，y’/y=n→x=x’/m，y=y’/n•(x,y)为圆上一点，将其代入圆的方程，得：x’2/m2+y’2/n2=1•这是一个椭圆方程，这就证明了椭球体面上的微小圆，投影后为椭圆。故叫做变形椭圆。•研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，说明变形性质和数量。•椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为bμa;•椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形;•椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。•（2）主方向（底索定律）•无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一对线的方向成为主方向。取主方向为作为微分椭圆的坐标•（3）长度比和长度变形：设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds’，投影面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：μ=ds’/ds•长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。ds’ds•通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。•投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：•m2+n2=a2+b2m·n·sinθ=a·b•长度变形即长度比（μ）与1之差，用V表示长度变形则：Vμ=μ-1•长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。•在主方向上，具有极大和极小长度比。•当经纬线投影后为正交垂直，经纬线方向就是为主方向，如高斯投影。但也有一些投影后经纬线斜交，因此，主方向与经纬线方向并不一致。•主比例尺和局部比例尺•平常地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小，如制1:100万地图，将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，则1:100万就是地图的主比例尺。由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。•注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。•(4)面积变形•投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。•P表示面积比Vp表示面积变形•••P=a·b=m·n(=90)（主方向和经向纬向一致）•P=m·n·sin(≠90)（阿波隆尼定理）•面积比是变量，随位置的不同而变化。2d'πdπFabPabFl1pVp•(5)角度变形•投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。••(a、b极值长度比)sin2ababtan(45)2ba四、地图投影的分类图不同性质投影上的变形椭圆2-19等角投影按变形性质分类等距投影等积投影任意投影（1）等角投影（正形投影）：角度变形为0，地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆，其形状保持不变，只有长度和面积变形。等角投影的条件是：ω=0sin(ω/2)=(a—b)/（a+b)=0a=b，m=n等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比不一定相同。多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。（2）等积投影：投影后图形保持面积大小相等，没有面积误差。也就是球面上的不同地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆，但椭圆的形状不一样。因此有角度和长度变形。等积投影条件：Vp=P―1＝0；P=1（P=ab，所以a=1/b或b=1/a）由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。（3）任意投影：任意投影是既不等角也不等积的投影。这种投影的特点是面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。在任意投影中，有一种特殊的投影，叫做等距投影，其条件是，m=1。即变形椭圆上的一个半径和球面上相应微小圆半径相等。等角投影等积投影等距投影任意投影如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。通过比较可以看出：①等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性。②任意投影不能保持等积、等角特性。③等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。投影构成方法几何投影条件投影方位投影圆柱投影圆锥投影伪方位投影伪圆柱投影伪圆锥投影多圆锥投影几何投影方位投影圆柱投影圆锥投影条件投影•五、常用地图投影（1）墨卡托投影（MercatorProjection）墨卡托投影属于正轴等角圆柱投影。该投影设想与地轴方向一致的圆柱与地球相切或相割，将球面上的经纬线网按等角的条件投影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开并展成平面。经线和纬线是两组相互垂直的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大（如图）。图上无角度变形，但面积变形较大。墨卡托投影中，面积变形最大，在纬度60度地区，经纬线比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高纬通常不绘。该投影被广泛应用于航海和航空方面，因为等角航线（或称斜航线），在此投影中表现为直线，等角航线是地球表面上与经线相交的相同角度的曲线，或者说地球上两点间的一条等方位线，船只要按等角航线航行，不用改变方位角就能从起点到达终点。等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航海航空具有重要意义。因为有这个特征，航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。（2）彭纳投影（BonneProjection）彭纳投影是法国水利工程师彭纳（RigobertBonne）1752年设计的一种等积伪圆锥投影。彭纳投影常用于中纬度地区小比例尺地图，如我国出版的《世界地图集》中的亚洲政区图，英国《泰晤士世界地图集》中的澳大利亚与西南太平洋地图，都采用的是彭纳投影。（3）摩尔维特投影（MollweideProjection）摩尔维特投影是一种经线为椭圆曲线的正轴等积伪圆柱投影。该投影的的中央经线为直线，离中央经线经差±90°的经线为一个圆，圆的面积等于地球面积的一半，其余的经线为椭圆曲线。赤道长度是中央经线的两倍。纬线是间隔不等的平行直线，其间隔从赤道向两极逐渐减小。同一纬线上的经线间隔相等。•(4)等角正切方位投影•概念:球面极地投影：以极为投影中心。纬线为同心圆，经线为辐射的直线，纬距田中心向外扩大。变形:投影中央部分的长度和面积变形小，向外变形逐渐增大。用途:主要用于编绘两极地区国际1∶100万地形图。•(5)等积斜切方位投影•概念:投影中心点位随需要而定•变形:中央经线为直线，其余经线和纬线均为曲线。自投影中心点向外，长度和角度变形逐渐增大。用途:编制亚洲、欧洲、北美等大区域地图。•中国政区全图:其投影中心点位于30°N，105°E；长度变形在广大地区为±2％，局部地区为±35％；最大角度变形，广大地区为2.5°，局部地区为4°•(6)等距正割圆锥投影•概念:圆锥体面割于球面两条纬线。•变形:纬线呈同心圆弧，经线呈辐射的直线束。各经线和两标纬无长度变形，即其它纬线均有长度变形，在两标纬间角度、长度和面积变形为负，在两标纬外侧变形为正。离开标纬愈远，变形的绝对值则愈大。•用途:用于编绘东西方向长，南北方向稍宽地区的地图，如前苏联全图等。•(7)等积正割圆锥投影•概念:满足ｍｎ＝1条件，即在两标纬间经线长度放大,纬线等倍缩小，两标纬外情况相反。•变形:在标纬上无变形，两标纬间经线长度变形为正，纬线长度变形为负；在两标纬外侧情况相反。角度变形在标纬附近很小，离标纬愈远，变形则愈大。•用途:编绘东西南北近乎等大的地区，以及要求面积正确的各种自然和社会经济地图。•(8)等角正割圆锥投影•概念:满足ｍ＝ｎ条件，两标纬间经线长度与纬线长度同程度的缩小，两标纬外同程度的放大。•变形:在标纬上无变形，两标纬间变形为负，标纬外变形为正，离标纬愈远，变形绝对值则愈大。•用途:用于要求方向正确的自然地图、风向图、洋流图、航空图，以及要求形状相似的区域地图；并广泛用于制作各种比例尺的地形图的数学基础。如我国在1949年前测制的1∶5万地形图，法国、比利时、西班牙等国家亦曾用它作地形图数学基础，二次大战后美国用它编制1∶100万航空图。(9)桑森（Sanson-Flamsteed）投影经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由法国桑逊于1650年设计。投影特点：P=1无面积变形n=1纬线长度比为1m0=1中央经线长度比