运动定理与守恒定律1

第三章运动定理和守恒定律将Newton第二定律分别对空间、时间进行积分或对固定参考点求矩，就得到三个运动定理：质点的动能定理、动量定理和角动量定理。Newton第二定律的这三种变形，分别从不同侧面展示了环境作用与质点运动状态变化间的联系。Newton第二定律确定了力的瞬时效应，它表达了动力学最基本的因果关系。若积累所有的瞬时情况，并根据初条件就可以对全过程做出描述。力学理论正是在Newton定律的基础上演绎发展起来的。对于存在复杂的相互作用的诸多质点，我们可根据需要划定边界，建立质点系统，寻找系统的整体功能。设定边界，将系统与环境分离，系统受到的作用力就被区分为外力和内力：外力是外界对系统内质点的作用力，内力是系统内质点间的相互作用。按照Newton第三定律，系统内力成对出现，且内力的矢量和为零。从此可引发出内力的一系列重要性质，并将质点运动定理推演为反映质点系统整体运动的质点系运动定理，形成了质点系统动力学。当系统外力满足一定条件时，系统在变化过程中可能出现守恒的运动量，既反映了深层次的运动规律，又为研究运动的转化和传递提供了捷径。应该指出，从Newton运动定律演绎推出的机械能守恒、动量守恒和角动量守恒关系，有比Newton定律更为雄厚的自然基础。它们是时间、空间对称性的必然结果。在Newton定律已不适用的微观领域，它们依然具有指导意义。§3.1功的概念动能定理一、功1.直线运动恒力作功定义恒力作用于沿直线运动的质点，若质点位移为，且，Fr),(rF则此过程中力对质点运动所做出的贡献称为力的功，FFrFWFFr定义为cosrF不管过程中其它力是否起作用，也不涉及质点位移以外的其它状态变化。功是一种规定，它不是力的瞬时响应，而是在一个空间过程中量度力在质点路径上的积累效应。是力在质点位移方向上的投影，它在这个过程中，对位移有完全的贡献。而力在垂直于质点位移方向，对这个空间过程则完全无贡献。cosF当时，200W，力对运动质点作正功；当时，20W，力对运动质点不作功；当时，20W，力对运动质点作负功；2.变力的功元功及其积累在一般情况下，作用于运动质点上的力不是恒矢量，如何确定它在一个空间过程中的功呢？F物理学中处理变量积累的惯用方法是考察微小的元过程，在无限小的微元过程中变量被视为常量（局域线性化）。质点通过某点附近一个微小线元时，力视为常量。Fds在这个元过程中，质点的运动可以看作沿轨道切线的直线运动，元位移为，且。rdsrd按恒力作功定义，元过程中力的元功FrdFdW质点的运动过程由无限多连续变化的元过程组成。在全过程中，力所作的功，应是所有元过程中力所作元功的总和。FWF力连续变化，取和过渡为积分：FabFrd)()(baLrdFdWW路径积分从位置沿轨道向位置进行。)(a)(b这是力对质点作功的普遍定义。如果质点同时受到几个力的作用，那么合力的功等于各分力作功之和。,2,1iFiiiFFW),2,1(iWiiiWW即1f2f3fx若质点同时受到几个作用时，合力的功如何？其中是质点的瞬时速度。dtrdv如果已知瞬时速度随时间变化的规律,则)()()(tvtFtpp那么在一段时间中的平均功率ifttfittifdttpttp)(1二、功率设时间内，力对质点所作的元功为，则时刻，力的瞬时功率定义为],[dtttFdWtFdtdWPdtrdFvF[例题1]质量为的直升飞机，以顶部螺旋桨向下推动空气获得升力，若被下推的空气速度为，求：直升机在空中静止不动时发动机的功率。um解：直升机在空中静止不动时获得的升力即顶部螺旋桨向下推动空气的推力为mgF按上述功率的定义，发动机的功率mguPgmF三、功的计算与参考系的选择有关由前述功的定义可知，在功的计算中并没有限制选择什么样的参考系，也就是说允许在任何一个参考系中计算功，不论是惯性系还是非惯性系。然而，质点的位移和轨道在不同的参考系中会有不同的描述，运动描述的相对性，导致依赖于参考系的选择。质点间的相互作用力，不随参考系的改变而变化（在Newton力学范围内）。所以，功也具有相对性，或者说，功的计算与参考系的选择有关。rdFm2s1sff例如：物体置于加速前进的小车之上，既随车前进，又相对小车向后滑动，考虑此时相互作用的摩擦力所作的功与参考系的关系。设相对地面小车沿直线前进了物体前进了1s2s21ss作用在物体上的滑动摩擦力xmgfˆˆx作用于小车的滑动摩擦力fff作功以地面为参考系以小车为参考系f作功2sfW1sfW12ssfW0Wm2s1sff究竟哪组结论对？或者都对？如果选择了其它的参考系，显然还会有另外的结果。这就产生一个问题，过程中一个力作功的数值随参考系的改变而变化是否会使功的概念失去确定的物理意义？的确，随意选择参考系可能使问题复杂化。但是，如果将选用的参考系坚持到底，对所有的物理量都在同一参考系中测量，并且利用适合该参考系的动力学规律，仍可获得唯一的结果。也就是说，原则上不排斥在任何参考系中计算功。以地面为参考系以小车为参考系f作功2sfW1sfW12ssfW0Wf作功然而，那些不随参考系改变而变化的物理量，即参考系变换的不变量更需要加以重视。因为这些不变量往往是运动的本质属性，是规律之所在。在这个例子中，在地面和小车这两个参考系中都一样。21ssfWW即一对作用力和反作用力作功之和与参考系的选择无关又如载有物体的卡车运动时，若卡车上的物体受某力的作用相对车向前滑动。由于物体相对车和地面的位移不同，因此该力相对车和地面所作的功也不会相同。结论：⑴功的计算与参考系的选择有关(见上述实例)。⑵一对作用力和反作用力作功之和与参考系的选择无关（证明见讲义）。⑶一般讲，作功于路径有关。F箱子与地面之间的摩擦力作功与路径有关。但有些满足一定条件的力(保守力)作功是与路径无关的力。[例题2]人从10m深的井中提水，开始时桶中装有10kg的水，以后水桶匀速上升，直到井口，但桶连续而又均匀地漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水，桶质量2kg，求人提水过程所作的功。10mxo解：设x轴从水面竖直向上，桶与水总质量随变化MxxkMxMM0100x其中匀速提水时满足0MgF人所作的功JdxgkxMFdxW10781000100如图所示将一根长为L的绳子从地面上竖直匀速拉起，直到绳子下端刚好接触地面，求外力所作的功？四、质点的动能定理——Newton第二定律的空间积分在任一个元过程中，合外力对质点所作的元功FmrdamrdFdW其中加速度可以在轨道的法向和切向写出分量形式：anˆˆˆˆanaan则ˆ)ˆˆ(dranamdWndrmavdtdtdvmmvdv)21(2mvd其中利用了ˆˆvdtdtvdrrdrdFnFnˆˆF(i)(f)显然，合外力的元功等于质点动能的元增量，它的法向分量不作功，只引起质点速度方向的变化，它的切向分量对质点作功。质点从初始状态（incipientstate）（i）到末状态（finalstate）（f）的全过程中合外力对质点作功222121ifvvfimvmvmvdvdWWfi定义质点动能为221mvEK动能是质点运动状态的单值函数，是质点机械运动的量度之一。ikfkifEEmvmvW222121则质点的动能定理表示为动能定理是Newton第二定律的空间积分，它表示：相对于惯性系，质点动能的变化等于过程中合外力的功。[例题3]圆锥摆：如图所示，质量为的小球悬挂在绳的下端在水平面内作匀速圆周运动，试讨论重力、绳中的张力及合外力的功。mvvgmT解：由于质点作匀速率圆周运动，绳中的张力和重力总与质点的运动方向垂直，即vTvgm故重力和绳中的张力对质点不作功。质点所受到的合外力也不作功。Tgm因此按质点的动能定理，此时质点的动能将保持不变。ikfkEEW合[例题4]质量为的小球系在绳子的一端，线的另一端系于天花板上，绳长为。首先拉动小球使线保持水平静止，然后放手使小球下落，求线摆下角时，小球的速率。ml解：m小球下落过程中受绳中张力和重力作用，如图所示。gmT此时质点所受到的合力所作的功为)()()(firdgmTW)()(firdgmsinmgl若以和分别表示初态与末态的速率，则按质点的动能定理，有ivfvikfkEEW合021sin2fmvmgl因此小球摆下角时的速率为sin2glvf)0(iv在解题过程中用到了两个概念：功和动能。利用动能定理可以避免一些数学上的复杂运算（积分）而直接由合力的功给出质点动能的增量。[例题5]汽车以速率前进，司机突然见到正前方距离为处有一障碍物（如一堵墙壁）。问为了避免撞在墙上，汽车应急刹车还是急转弯？dv分析：若急刹车，按质点的动能定理，地面提供的摩擦阻力所作的功应等于质点动能的变化，即dFxFmv111221dmvF221因此，摩擦力要满足显然，急转弯需要路面对汽车轮胎提供的静摩擦力大于急刹车时路面需要对轮胎提供的滑动摩擦力。在的通常情况下，刹车把握大一些。2F1FkSk2若急转弯，质点近似作圆周运动，此时摩擦力所提供的法向力应满足：dmvF222222Fxmvdmv为了避免撞墙，摩擦力应满足vd§3.2保守力系统的势能功是力沿质点路径的积分，与路径有关，是理所当然的，但是，在某些力场*中，场力作功却与质点路径无关。一、重力的功及其势能)(l)(l)(a)(bWrdxyzo地球表面的重力场，在一个小范围内可以认为是均匀力场。以地球为参考系，建立坐标系，轴竖直向上。zˆ设质点在重力作用下沿任意路径，由位置运动到位置，考察重力的功()l()a()b讨论重力所作的功：)()(bardwW)ˆˆˆ()ˆ()()(zdzydyxdxzmgbadzmgba)()(bamgzmgz其中、为物体初终两状态的竖直坐标。azbz)(l)(l)(a)(bWrdxyzo表明重力的功只取决于物体的始末位置，与所经历的具体路径无关，称为作功与路径无关。满足作功与路径无关的力称为保守力。由于保守力作功与路径无关，只取决于物体的始末位置，因此，我们可以引入一个只由位置决定的函数——势能函数，以表示。pE定义保守力所作的功等于相关势能的减少。即pfpiEEW保其中表示初态，表示末态。if对于重力有bamgzmgzWpfpiEE因此，重力势能函数表示为mgzEp这里取地面为重力势能零点。如图将重物搬上汽车时，沿不同路径，重力的功相同。重物被提升到平台上时，无论沿那条路径，重力所作的功都是一样的——作功与路径无关。应该指出的是重力的功是在地面坐标系中计算的，实际上这是一对作用力与反作用力作功之和，与参照系的选择无关(弹性力、万有引力也类似)。moxxk弹性力的功为)()(bardFW)()(ˆˆbaxdxxkx)()(bakxdx222121bakxkx弹性势能函数为221kxEp二、弹性力的功及其势能函数弹簧的弹性力满足kxF常取平衡位置作为弹性势能的零点。)0(x三、万有引力的功及其势能万有引力rrMmGFˆ2按功定义有)()(balrdFWbarrdrrMmG2)()(barMmGrMmGrarbr)(a)(bMm万有引力势能为rGMmEp取无限远点为万有引力势能势能只有相对的意义，取决于势能零点的选择，它表示为位置的单值函数，并有较简单的表达式。势能改变