4函数的表示与定义域

函数的表示与定义域1函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.⑶图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的关系.2．分段函数：在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数。它是一类较特殊的函数。注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.()yfu3．复合函数：设通过变量u，得到y关于x的函数那么称这个函数为函数和的复合函数。记作。其中叫做外函数，叫做内函数,u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域的子集。(),,(),,yfuuBugxxA()yfu()ugx[()]yfgx()ugx4.函数解析式的求法：①定义法（配凑）；②换元法；③待定系数法；④赋值法。求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；()fx[()]fgx[()]fgx()fx（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；()fx()fx（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5.确定函数定义域的原则定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循：“定义域优先”的原则。而确定函数的定义域的原则是：（1）当函数y=f(x)是用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；（2））当函数y=f(x)是用图像给出时，函数的定义域是指图像在x轴上投影所覆盖的实数x的集合；（3）当函数y=f(x)是用解析式给出时，那么函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；（4）若y=f(x)是由实际问题给出时，则函数的定义域由实际问题的意义确定.6.由解析式表示的函数的定义域的求法求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次（偶次）根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是对数式，则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合；⑤含参问题的定义域要分类讨论；⑥若f(x)是指数式，则零指数幂的底数不等于零。⑦若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。【思路分析】本题要求给出解析式的函数的定义域，其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合，于是可转化为解不等式或不等式组。例.求下列函数的定义域：⑴(3)lg43xfxxxxycoslg252xxxxy9111lg)1lg((2)【解析】（1）得,4030xx43xx且(,3)(3,4).该函数的定义域为255250(2),,22()cos02233[,][,5].2222xxkxkkZx即所求定义域为-5,-1011(3)0,11,9.1990(1,9).xxxxxxxxx即或解得，0该函数的定义域为【点评与感悟】要求给出解析式的函数的定义域，其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合，于是可转化为解不等式或不等式组，因此同学们要熟练掌握如下几种情况：①含有分式的：分母不等于0；②有偶次根式的：被开方式大于等于0；③含有对数式的：真数大于0,底数大于0且不等于1；④指数式中，若指数为0，则底数不等于0;⑤要熟练基本初等函数的定义域。例.（09东北师大附中月考）设，则的定义域为（）2()lg2xfxx2()()2xffxABCD(4,1)(1,4)(2,1)(1,2)(4,2)(2,4)(4,0)(0,4)【思路分析】已知的定义域，其复合函数的定义域应由不等式解出。()fx,ab()agxb解：f（x）的定义域是（－2，2），故应有－22且－22，解得－4x－1或1x4。故选B2x2x【点评与感悟】若已知的定义域为，要求复合函数的定义域，则应由不等式解出。()fx,ab()fgx()agxbB（1）已知，求3311()fxxxx()fx（2）已知，求2(1)lgfxx()fx（3）已知是一次函数，且满足，求()fx3(1)2(1)217fxfxx()fx（4）已知满足，求()fx12()()3fxfxx()fx解：（1）∵3331111()()3()fxxxxxxxx∴（或）3()3fxxx2x2x（2）令（），21tx1t则，∴，∴21xt2()lg1ftt2()lg(1)1fxxx（3）设，()(0)fxaxba则3(1)2(1)333222fxfxaxabaxab5217axbax∴，，∴=2a7b()27fxx（1）已知，求3311()fxxxx()fx（2）已知，求2(1)lgfxx()fx（3）已知是一次函数，且满足，求()fx3(1)2(1)217fxfxx()fx（4）①，12()()3fxfxx把①中的换成，得②，x132()()ffxxx①②得，∴233()6fxxx1()2fxxx【点评与感悟】第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知f(x)为一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。（4）已知满足，求()fx12()()3fxfxx()fx例.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域。解：∵AB=2x，则=πx，AD=2π2xxl2π2xxl2πx∴y=2x·+=－（+2）x2+lx。2π由＞0，解得0＜x＜2π2,02xxlx2πl2xDCBA【点评与感悟】函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求。例.已知函数(2),2()1,22xfxxfxx，则的值为（）(3)fA.2B.8CD1812【解析】因为—32,应代入解析式f(x+2)得f(-3+2)即f(-1),因-12,应代入解析式f(x+2)得f(-1+2)即f(1),因12,应代入解析式f(x+2)得f(1+2)即f(3),因32,应代入解析式得即.故选C。12x31218【点评与感悟】因分段函数在其定义域内的不同子集上，其对应法则不同而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，而代入相应的解析式去求函数值，不要代错解析式。C例.市内电话费是这样规定的：每打一次电话不超过3分钟话费为0.18元，超过3分钟而没有超过6分钟话费为0.36元；依次类推。每次打电话x(0≤x≤10)分钟应付话费y元，写出此函数的解析式并画出图像。【思路分析】由于是分段计费，因此所付话费y必须用分段函数来表示。o106930.18图3-2-20.540.720.36y解：依题意应付话费y的解析式为0.18(03)0.36(36)0.54(69)0.72(910)xxyxx周期函数图像如右图所示【点评与感悟】本题所列函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，需要用分段函数来表示。应注意分段函数尽管在各段上的解析式不同，但分段函数是一个函数，而不是几个函数.