2016年中考数学专题复习_第八讲_一元二次方程及应用(含答案)

第1页（共13页）2016年中考数学专题复习第八讲一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项。名师提醒：①在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件②将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2axb，则2x=，1x=，2x=。2、配方法：解法步骤：①化二次项系数为即方程两边都二次项系数；②移项：把项移到方程的边；③配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。3、公式法：如果方程200axbxca满足240bac，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0AB的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法三、一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程200axbxca根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根③当时，方程没有实数根名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数四、一元二次方程根与系数的关系：关于x的一元二次方程200axbxca有两个根分别为12xx、则12xx=，12xx=。五、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行方程有两个实数跟，则第2页（共13页）常见题型：①增长率问题：连续两率增长或降低的百分数2 1axb（）②利润问题：总利润=×或总利润=—③几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件【重点考点例析】考点一：一元二次方程的解例1（2015•兰州）若一元二次方程220150axbx有一根为1x，则ab．思路分析：由方程有一根为-1，将x=-1代入方程，整理后即可得到a+b的值．解：把1x代入一元二次方程220150axbx得：ab20150，即a+b=2015．故答案是：2015．点评：此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．跟踪训练1．（2015•柳州）若x=1是一元二次方程2x2xm0的一个根，则m的值为．考点二：一元二次方程的解法例2（2015•大连）解方程：2x6x40．思路分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解：移项得2x6x4，配方得2x6x949，即2x313（），开方得x313，∴1x313，2x313．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如2xpxq0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左第3页（共13页）右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如2axbxc0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成2xpxq0，然后配方．例3（2015•宿迁）解方程：2x2x3．思路分析：先移项，然后利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解，然后解方程；解：由原方程，得2x2x30，整理，得3)(10xx（），则x+3=0或x-1=0，解得12x3x1，。点评：本题考查了解一元二次方程--因式分解法、解一元二次方程．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．跟踪训练2．（2015•兰州）一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为（）A．2x417（）B．2x415（）C．（x-4）2=17D．（x-4）2=153．（2015•东莞）解方程：2x3x20．考点三：根的判别式的运用例4（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程22(23)20xmxm．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为12xx、，且满足221212xx31|xx|，求实数m的值．思路分析：（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即222m34m20（）（），解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到21212xx2m3xxm2，，再变形已知条件第4页（共13页）得到2121212xx4xx31|xx|（），代入即可得到结果．解：（1）∵关于x的一元二次方程22(23)20xmxm有实数根，∴△≥0，即222m34m20（）（），∴1m12；（2）根据题意得21212xx2m3xxm2，，∵221212xx31|xx|，∴2121212xx2xx31|xx|（），即2222m32m231m2（）（），解得m2m14，（舍去），∴m=2．点评：本题考查了一元二次方程2axbxc0a0（）的根的判别式2b4ac：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：12xx，是一元二次方程2axbxc0a0（）的两根时，1212bcxxxxaa，．跟踪训练4．（2015•梅州）已知关于x的方程2x2xa20．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．考点四：一元二次方程根与系数的关系例5（2015•黄冈）若方程2x2x10的两根分别为12xx，，则1212xxxx的值为．思路分析：先根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=-1，然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得1212xx2xx1，，所以1212xxxx213（）．故答案为3．第5页（共13页）点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，1212xxxxbcaa，．跟踪训练5．（2015•荆门）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为．考点五：一元二次方程的应用例6（2015•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80C．20（1+x2）=80D．20（1+x）2=80思路分析：根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，故选D．点评：本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）．对应训练6．（2015•酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500考点六：一元二次方程的应用例7（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？思路分析：设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解：解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，（60-x-40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元，答：应将销售单价定位56元．点评：本题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关系准确的第6页（共13页）列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．跟踪训练7．（2015•广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．【备考真题过关】一、选择题1．（2015•滨州）用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1B．（x-3）2=1C．（x+3）2=19D．（x-3）2=192．（2015•重庆）一元二次方程2x2x0的根是（）A．x1=0，x2=-2B．x1=1，x2=2C．x1=1，x2=-2D．x1=0，x2=23．（2015•烟台）如果20xx1x1（），那么x的值为（）A．2或-1B．0或1C．2D．-14．（2015•济宁）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程2x13x360的两根，则该三角形的周长为（）A．13B．15C．18D．13或185．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（）A．-2B．2C．4D．-36．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2-7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x-12=0D．x2-7x-12=07．（2015•锦州）一元二次方程2x2x10的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A．-1B．1C．-4D．49．（2015•德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥110．（2015•东莞）若关于x的方程29xxa04有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜2第7页（共13页）11．（2015•黔东南州）设x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，则x12+x22=（）A．6B．8C．10D．1212．（2015•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）A．x（x-10）=900B．x（x+10）=900C．10（x+10）=900D．2[x+（x+10）]=90013．（2015•安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1+x）=4.5B．1.4（1+2x）=4.5C．1.4（1+x）2=4.5