二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

中考复习压轴题1/20二次函数与几何综合07年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，题型分析题目背景中考复习压轴题2/20再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。二次函数与三角形综合【例1】.（2012武汉中考）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．中考复习压轴题3/20考点：二次函数综合题。解答：解：（1）当x=0时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）．设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得∴直线AB解析式为y=2x﹣2．∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y=x2﹣2的交点，则点C的横、纵坐标满足：，解得、（舍）∴点C的坐标为（4，6）．（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D．E两点．∴yD=4，yE=，∴DE=．∵FG=DE=4：3，∴FG=2．∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．∴yF=2a﹣2，yG=a2﹣2∴FG=|2a﹣a2|=2，解得：a1=2，a2=﹣2+2，a3=2﹣2．（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=x2﹣2﹣m；∴0=﹣t2﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣t2．∴y=x2﹣t2，∴点P坐标为（0，﹣t2）．∵点N是直线AB与抛物线y=x2﹣t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：，解得、（舍）∴N（2﹣t，2﹣2t）．NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°．∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，∴MO=OT，HT=HN∴OT=4，NT=﹣，NH=（2﹣t），PT=﹣t+t2．中考复习压轴题4/20∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT，∴﹣t+t2=（2﹣t），∴t1=﹣2，t2=2（舍）﹣2﹣m=﹣t2=﹣（﹣2）2，∴m=2．中考复习压轴题5/20【例2】.（2011武汉中考）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.中考复习压轴题6/20中考复习压轴题7/20【例3】.（2010武汉中考）如图，拋物线y1=ax22axb经过A(1，0)，C(2，23)两点，与x轴交于另一点B；(1)求此拋物线的解析式；(2)若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且MPQ=45，设线段OP=x，MQ=22y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与拋物线交于点E，G，与(2)中的函数图像交于点F，H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由。25.解：(1)∵拋物线y1=ax22axb经过A(1，0)，C(0，23)两点，∴2302bbaa，∴a=21，b=23，∴拋物线的解析式为y1=21x2x23。(2)作MNAB，垂足为N。由y1=21x2x23易得M(1，2)，N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=22，MBN=45。根据勾股定理有BM2BN2=PM2PN2。∴(22)222=PM2=(1x)2…，又MPQ=45=MBP，∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQMB=22y222…。由、得y2=21x2x25。∵0x3，∴y2与x的函数关系式为y2=21x2x25(0x3)。(3)四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是mn=2(0m2，且m1)。∵点E、G是抛物线y1=21x2x23分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为E(m，21m2m23)，G(n，21n2n23)。同理，点F、H坐标为F(m，21m2m25)，H(n，21n2n25)。∴EF=21m2m25(21m2m23)=m22m1，GH=21n2n25(21n2n23)=n22n1。∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH。∴m22m1=n22n1，∴(mn2)(mn)=0。由题意知mn，∴mn=2(0m2，且m1)。因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是mn=2(0m2，且m1)。PMQABOyxPMQABOyxNOEFGHxy中考复习压轴题8/20【例4】.（2009武汉中考）如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．25．解：（1）抛物线经过，两点，解得抛物线的解析式为．（2）点在抛物线上，，即，或．点在第一象限，点的坐标为．由（1）知．设点关于直线的对称点为点．，，且，，点在轴上，且．，．即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作于，于．由（1）有：，．，且．，．24yaxbxa(10)A，(04)C，xB(1)Dmm，DBCBDP45DBP°P24yaxbxa(10)A，(04)C，4044.abaa，13.ab，234yxx(1)Dmm，2134mmm2230mm1m3mDD(34)，45OAOBCBA，°DBCE(04)C，CDAB∥3CD45ECBDCB°Ey3CECD1OE(01)E，DBCPFAB⊥FDEBC⊥E445OBOCOBC，°45DBPCBDPBA°，(04)(34)CD，，，CDOB∥3CD45DCECBO°322DECEyxOABCyxOABCDEPFyxOABCDE中考复习压轴题9/20，，，．设，则，，．点在抛物线上，，（舍去）或，．方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．．，又，．，，．由（2）知，．，直线的解析式为．解方程组得点的坐标为．4OBOC42BC522BEBCCE3tantan5DEPBFCBDBE3PFt5BFt54OFt(543)Ptt，P23(54)3(54)4ttt0t2225t266525P，DBDPBQDDHx⊥HQQGDH⊥G45PBDQDDB°，QDGBDH90°90DQGQDG°DQGBDHQDGDBH△≌△4QGDH1DGBH(34)D，(13)Q，(40)B，BP31255yx23431255yxxyx，，1140xy，；222566.25xy，P266525，yxOABCDPQGH中考复习压轴题10/20【例5】.（2011年四调）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联．（1）已知抛物线①y=x2+2x﹣1，判断下列抛物线②y=﹣x2+2x+1；③y=x2+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线C1：y=（x+1）2﹣2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1与C2关联，求抛物线C2的解析式．（3）A为抛物线C1：y=（x+1）2﹣2的顶点，B为与抛物线C1关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；（2）首先求得抛物线C1的顶点坐标，则可得：点P在直线y=2上，则可作辅助线：作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果；（3）分别从当A，B，C逆时针分布时与当A，B，C顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C的坐标，注意别漏解．解答：解：（1）∵①抛物线y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2的顶点坐标为M（﹣1，﹣2），∴②当x=﹣1时，y=﹣x2+2x+1=﹣1﹣2+1=﹣2，∴点M在抛物线②上；∵③当x=﹣1时，y=x2+2x+1=1﹣2+1=0，∴点M不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，﹣2），经验算：（1，﹣2）在抛物线①上，∴抛物线①、②是关联的；（2）抛物线C1：y=（x+1）2﹣2的顶点M的坐标为（﹣1，﹣2），∵动点P的坐标为（t，2），∴点P在直线y=2上，作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=3，∴点N的纵坐标为6，当y=6时，（x+1）2﹣2=6，解得：x1=7，x2=﹣9，①设