物理竞赛分类汇编 万有引力定律(教师版)分解

竞赛题汇编1万有引力定律一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°。已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10－11Nm2/kg2，太阳质量mS=1.99×1030kg，试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。一、参考解答：解法一取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为22221xyab（1）a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．以eT表示地球绕太阳运动的周期，则e1.00T年；以ea表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e1.00AUa，根据开普勒第三定律，有3232aTaTee（2）设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得car0（3）22cab（4）由图1可知，P点的坐标cosPPxcr（5）sinPPyr（6）把（5）、（6）式代入（1）式化简得2222222222sincos2cos0PPPPPabrbcrbcab（7）根据求根公式可得SPPPrabO0Pxy图122222cossincosPPPPbacrab（8）由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得0.896AUPr(9)可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为s2GmmE=a(10)式中m为彗星的质量．以Pv表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2ss122PPGmmGmmmrav（11）得s21PPGmrav（12）代入有关数据得414.3910msPv=(13)设P点速度方向与0SP的夹角为(见图2)，根据开普勒第二定律sin2PPPrv（14）其中为面积速度，并有πabT（15）由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得127（16）图2SPPPrabO0Pxy解法二取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为，取逆时针为正向，用r、表示彗星的椭圆轨道方程为1cospre（1）其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知21pae（2）将（2）式代入（1）式可得cos112eear（3）以eT表示地球绕太阳运动的周期，则e1.00T年；以ea表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e1.00AUa，根据开普勒第三定律，有3232aTaTee（4）在近日点0，由（3）式可得1rea0（5）将P、a、e的数据代入（3）式即得0.895AUPr（6）可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能s2GmmE=a(7)式中m为彗星的质量．以Pv表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2ss122PPGmmGmmmrav（8）可得21PsPGmrav（9）代入有关数据得414.3910msPv=(10)设P点速度方向与极轴的夹角为，彗星在近日点的速度为0v，再根据角动量守恒定律，有sinPPPrrvv00（11）根据（8）式，同理可得21sGmra00v（12）由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据127(13)评分标准：本题20分解法一（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13)式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．解法二（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10)式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．(25届)二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高22.0510nHkm，远地点离地面高45.093010fHkm，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量32.35010mkg，地球半径36.37810Rkm，地面重力加速度29.81/gms，月球半径31.73810rkm。1、试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率e。2、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小490FN，要把近地点抬高到600km，问点火时间应持续多长？3、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度mH约为200km，周期127mT分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。二、参考解答：1.椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）nr与fr的算术平均值，即有nfnfnf111222arrHRHRHHR(1)代入数据得43.194610akm(2)椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有nfbrr(3)代入数据得41.94210kmb(4)椭圆的偏心率abae22(5)代入数据即得0.7941e(6)2.当卫星在16小时轨道上运行时，以nv和fv分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点能量相等，有22nfnf1122GMmGMmmmrrvv(7)式中M是地球质量，G是万有引力常量.因卫星在近地点和远地点的速度都与卫星到地心的连线垂直，根据角动量守恒，有nnffmrmrvv(8)注意到gRGM2(9)由(7)、(8)、(9)式可得fnnfn2rgRrrrv(10)nnfnfffn2rrgRrrrrvv(11)当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有nnrRHffrRH由(11)式并代入有关数据得f1.198vkm/s(12)依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.所以新轨道远地点高度4ff5.093010HHkm，但新轨道近地点高度2n6.0010Hkm.由(11)式，可求得卫星在新轨道远地点处的速度为f1.230vkm/s(13)卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为t，有ffmFtvv(14)由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得t=21.510s(约2.5分)(15)这比运行周期小得多.3.当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小sin2Lrmmv(16)其中1sin2rv（17）是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故是恒量.利用远地点处的角动量，得ff12rv(18)又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为πSab(19)所以卫星沿轨道运动的周期ST(20)由(18)、(19)、(20)式得ff2πabTrv(21)代入有关数据得45.67810Ts(约15小时46分)(22)注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比的平方等于它们的轨道半长轴a与a0之比的立方，即2300TaTa若0a是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有202002πGMmmaaT得22203204π4πTaGMgR从而得2πaaTRg代入有关数据便可求得(22)式.4.在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有2mm2mm2π()GMmmrrT(23)这里mmrrH是卫星绕月轨道半径，mM是月球质量.由(23)式和(9)式，可得23mm22m4πrMMgRT(24)代入有关数据得m0.0124MM(25)（29届）三、（23分）设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度R（从地心算起）延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。1、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80R处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。（1）论证卫星脱落后不会撞击地面。（2）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在0~12小时及12~24小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。2、如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为XR处有一卫星从电梯脱落（脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零），脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。已知：地球质量kgM24100.6，半径mRe6104.6的球体；引力恒量2211107.6kgmNG；地球自转周期24eT小时；假设卫星与太空电梯脱落后只受地球引力作用。解：1.i.通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为负值.由开普勒第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为椭圆的一个焦点(或圆的圆心)，如图所示.由于卫星在脱离点的速度垂直于地心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点（或近地点）；设近地点（或远地点）离地心的距离为r，卫星在此点的速度为v.由开普勒第二定律可知20.80rRv=(1)式中e(2/)T为地球自转的角速度.令m表示卫星的质量，根据机械能守恒定律有222110.80220.80GMmGMmmmRrRv（2）由（1）和（2）式解得0.28rR(3)可见该点为近地点,而脱离处为远地点.【（3）式结果亦可由关系式：2210.800.8020.80GMmGMmmRrRR直接求得】R0.80Rab同步卫星的轨道半径R满足22GMRR(4)由(3)和(4)式并代入数据得41.210kmr(5)可见近地点到地心的距离大于地球半径，因此卫星不会撞击地球.ii.由开普勒第二定律可知卫星的面积速度为常量，从远地点可求出该常量为2s10.802R(6)设a和b分别为卫星椭圆轨道的半长轴和半短轴，由椭圆的几何关系有0.280.802RRa(7)2220.800.282baR(8)卫星运动的周期T为sabT(9)代人相关数值可求出9.5hT（10）卫星刚脱离太空电梯时恰好处于远地点，根据开普勒第二定律可知此时刻卫星具有最小角速度，其后的一周期内其角速度都应不比该值小，所以卫星始终不比太空电梯转动得慢；换言之，太空电梯不可能追上卫星.设想自卫星与太空电梯脱离后经过1.5T（约14小时），卫星到达近地点，而此时太空电梯已转过此点，这说明在此前卫星尚未追上太空电梯.由此推断在卫星脱落后的0-12小时内二者不可能相遇；而在卫星脱落后12-24小时内卫星将完成两个多周期的运动，同时太空电梯完成一个运动周期，