第二章 常用机械优化方法

第二章常用机械优化方法基本概念与数学基础一维优化方法无约束优化方法线性规划与单纯形法约束优化方法第一节基本概念与数学基础§1-1基本概念§1-3优化设计的数学基础§1-2优化设计的数学模型§1-4优化设计的数值迭代方法一、基本概念来源：优化一语来自英文Optimization，其本意是寻优的过程。优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的指标自动地选出最优的设计方案。优化过程：是寻找给定函数极大值（以max表示)或极小值(以min表示)的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学。§1-1基本概念优化过程的框图表示：二、机械优化问题示例工程结构优化设计下图为由两根钢管组成的对称桁架。点A处垂直载荷P=300,000N，2L=152cm，空心钢管厚度T=0.25cm，材料弹性模量E=2.16107N/cm2，屈服极限σs=70,300N/cm2。求：在满足强度条件和稳定性条伴下，使体积最小的圆臂直径d和桁架高度H。解:杆内力杆截面压应力抗压强度：σ≤σs分析:为保证桁架可靠地工作，就必须要求杆件具有足够的抗压强度和稳定性。抗压强度:杆件截面上产生的压应力不超过材料的屈服极限。稳定性:杆件截面上的压应力不超过压杆稳定的临界应力。问题的最优解为：最优点：d=47.7cm;H=51.31cm最优点的体积为：W=686.73cm3机械零件优化设计下图所示压力容器，内径D0=0.l2m，内部气体压强P=l2.75106N/m2，放置螺栓的中心圆直径D=0.2m,要求选择螺栓的直径d和数量n，使螺栓组的总成本最低。分析：首先螺栓要满足强度要求，所用螺栓数量要考虑密封要求，又要兼顾装拆的扳手空间。解:螺栓组的总成本：Cn=C·n;式中，C为螺栓单价;n为螺栓个数。连杆机构优化设计下图所示一六杆机构由铰链四杆机构ABCD和带有滑块5的摆杆6由连杆BE连接而成。原动件AB逆时针转动使从动件6绕P点往复摆动。机架AD水平置放，F点已选定。要求当原动件AB转角Φ0在180º~300º范围内，摆杆6处于LM位置不动，即从动件摆杆产生间歇运动。试设计六杆机构尺寸参数l1、l2、l3、l4、l5及α。生产管理优化机械优化设计是欲对某机械设计项目取得一个最优方案。所谓一个设计方案一般是用一组参数来表示。设计参数在优化设计中分成两种类型：设计常量和设计变量。设计常量：可以根据设计的具体情况或成熟的经验预先给定。对设计结果影响不大的参数也常作为设计常设处理。数学模型三要素：设计变量/目标函数/设计约束§1-2优化设计的数学模型一、设计变量设计变量：在设计过程中需优选的参数，把它作为优化设计中的设计变量。即在设计过程中作为变量处理以供选择、并最终必须确定的各项独立参数；设计变量按取值是否连续分为连续变量和离散变量;设计变量的数目称为优化问题的维数;一个设计方案也常称为设计矢量，矢量端点称设计点。设计变量设计变量的选取选择对设计性能指标好坏有影响的量。如：几何参数——如零件的外形尺寸、截面尺寸，机构的运动学尺寸等；物理量——如构件的重量、惯性距、频率、力和力矩等等；代表工作性能的导出量——如应力、挠度、效率、冲击系数等。尽量减少设计变量的个数。即尽可能将不很活跃参数作为设计常量处理；而将设计指标影响较大的基本参数作为设计变量来处理。设计空间:设计点的集合。以n个独立变量为坐标轴组成的n维向量空间是一个n维实空间，用Rn表示。工程设计中的设计变量均为实数，且任意两矢量有某种计算，则这样的空间又称为n维实欧氏空间。设计变量的表示形式矩阵表示:二、目标函数在优化设计中用于评选设计方案好坏的函数，称为目标函数或评价函数，记作F(x)=F(x1,x2,…,xn)min例如，在长度为l、截面直径为d的圆柱形悬臂梁的优化设计中，期望得到一个重量最轻的设计方案，就可以优化梁的重量函数或体积函数来达到分为：单目标函数和多目标函数221221785398.025.0),(xxldxxf(1)按重叠度准则：(2)按位置误差准则：(3)按水平分速度准则：多目标飞剪机构：有3个设计准则目标函数按照设计准则建立在机构优化设计中，这种准则可以是运动学和动力学的性质，如运动误差，主动力和约束反力的最大值，振动特性等；在零件和部件设计中，设计准则可以用重量、体积、效率、可靠性、承载能力表示；对于产品设计，也可以将成本、价格、寿命等作为所追求的目标。在一般情况下，这些设计指标都有明显的设计变量的函数关系。目标函数不一定有明显的物理意义和量纲，而仅仅是设计指标的一个代表值当有的设计指标尚无确切的计算公式或精确的测量工具时，可用一个与它等价的定量指标来代替。例1:当一个零件需要以寿命作为设计指标时，目前尚无寿命的计算公式，这时可以用疲劳寿命或磨损来代替它。例2:为了使齿轮传动装置达到最大的承载能力，可以引入一个承载能力系数，当它达到最大值时，也就等价于承载能力最高。三、约束条件在设计过程中，为了得到可行的设计方案，常根据实际要求，对设计变量的取值加以限制条件，称为约束条件。不等式约束等式约束边界约束：对某些设计变量的取值范围加以限制，即某变量的上、下界。性能约束：或称性态约束。指在优化设计中按某种性能要求而构成对设计变量的约束。0),,,()(21nuuxxxgXg0),,,()(21nvvxxxhXh),,2,1(nibxaiii),,2,1(mu),,2,1(npv约束优化问题/无约束优化问题例：如图所示的曲柄摇杆机构中，原动构件1是曲柄，从动件3是摇杆。满足曲柄存在条件而建立的约束条件0)(11llXgii)3,2,1(i0)(43214llllXg0)(42315llllXg0)(32416llllXgli+1(i=1,2,3)：除曲柄1外其余三构件的长度根据传力性能要求建立的约束条件0)(min7Xg0)(max8Xg可行区域与非可行区域对于约束优化问题，设计点x在n维实欧氏空间Rn内的集合被分成两部分：一部分是满足所有设计约束条件的设计点集合，这个区域称为可行设计区域，简称可行域，记作D；设计点只能在可行域内选取，可行域内的设计点称为可行设计点。而其余部分则为非可行域，设计变最在非可行域内取值对设计是无意义的，即为非可行设计点。当设计点处于某一不等式约束边界上时，称边界设计点，它是一个为该项约束所允许的设计方案。二维设计平面可行域中的内点、外点和边界点D二维设计问题的可行域可在x1ox2平面直角坐标系表示,见左图;三维的可行域可在空间直角坐标系中表示。四、数学模型表示式无约束优化问题数学模型的一般表达式minF(x)x∈Rn约束优化问题数学模型的一般表达式minF(x)x∈Rns.t.gu(x)≥0，u=1,2,…,phv(x)=0,v=1,2,…,q最优点：x*=[x*1x*2…x*n]T最优值：F*=F(x*)最优解：（x*，F*)注：subjectto使服从……，使遭受…...五、优化问题的几何意义求n维设计变量目标函数的最小化问题，可以想像为在n+1维的坐标系内找出一个超曲面的最小值问题。例：二维不等式约束优化问题44)(min12221xxxXf221],[RDxxXT0)(0)(01)(02)(..24132212211xXgxXgxxXgxxXgts相关概念：约束线、可行域、目标函数等值线、约束极值点44)(min12221xxxXf221],[RDxxXT0)(0)(01)(02)(..24132212211xXgxXgxxXgxxXgts目标函数等值线(面)设n维目标函数F(x)=F(x1,x2,…,xn),在n维设计空间的任意一点x有确定的函数值F;反之，对于某一确定的函数值将有若干个设计点xi(i=1,2,…)与之相应，如果是连续问题，将有无限多个确定的设计点对应同一个函数值，则这些设计点在设计空间中构成的点集称为等值面(三维空间)、超等值面(四维以上)。对于二维问题，则称等值线。等高线二维等值线则在设计平面上得到以点(2，0)为圆心，以为半径的一族同心圆。曲线族中某一条曲线上的各点都具有相同的目标函数值。令目标函数值等于一系列常数值时),2,1(i约束线、可行域、目标函数等值线、约束极值点例：二维目标函数二维目标函数等值线形态分析对于求目标函数极小化问题来说，愈靠近极值点的等值面(线)所代表的目标函数值愈小；在极值点附近的等值线呈现椭圆形状，其中心就是极值点；在等值线较稠密的部位，目标函数值变化愈迅速；如果目标函数的非线性程度愈严重，其等值线的形状就愈复杂，而且可能存在多个极值点。等值面(线)的形状及其分布规律，反映了目标函数的变化规律无约束/约束最优解和局部/全域最优解对于无约束最优化问题，最优点就是目标函数的极值点，实际上就是目标函数等值线的中心。对于约束最优化问题，最优点往往是目标函数等值超曲面与约束超曲面的一个切点，而且可能在两个以上约束超曲面的交集上。包括无约束优化与约束优化问题在内，用优化方法所求出的点一般都是局部极小点，称为局部最优点；而我们所需要的是整体极小点，称为全局最优点。§1-3优化设计的数学基础一、多维函数的方向导数和梯度1、函数的偏导数偏导数是指在某坐标轴方向函数值的变化率。连续可微的n维函数在点的一阶偏导数表示为2、函数的方向导数二维函数沿着方向S的变化率n维函数在点沿着方向S的变化率(i是方向S与坐标轴正方向所夹的锐角)3、函数的梯度n维函数的梯度是函数各维一阶偏导数组成的向量梯度的模是函数各维一阶偏导数平方和的开方梯度与它的模的比值称为梯度的单位向量函数梯度的性质函数的梯度f(X(K))是函数在点X(K)的最速上升方向，而负梯度-f(X(K))是函数在点X(K)的最快下降方向。函数的梯度随着点X(K)在设计空间的位置不同而异，这只是反映了函数在点X(K)邻域内函数梯度的模||f(X(K))||是在点X(K)函数变化率的最大值。函数的梯度f(X(K))与在点X(K)的函数等值面正交。与点X(K)的函数等值面相切方向的函数变化率为零。函数的局部性质。函数梯度与等值线关系二、目标函数的泰勒(Taylor)展开式1、函数的海赛(Hessian)矩阵函数的二阶偏导数矩阵它是一个n×n阶的对称矩阵海赛矩阵正定和负定的判定如果海赛矩阵行列式各阶主子式全部大于零，即则它是正定的。如果各阶主子式是相间的一负一正，则它是负定的。2、目标函数的泰勒展开式一元函数f(x)在k点的泰勒展开式f(x)=f(x(k))+f’(x(k))(x-x(k))+f”(x(k))(x-x(k))2/2!多元函数f(x)在k点的泰勒展开式F(x)=F(x(k))+FT•[x-x(k)]+[x-x(k)]T2F•[x-x(k)]/2梯度F=海赛矩阵H(x)=2F=二次型函数F(x)=xTAx对于二次函数F(x)=xTAx。若对于任意不为零的x=[x1,x2,…,xn],恒有F(x)0,则相应的系数矩阵A称为正定矩阵。若恒有F(x)≥0,则称A为半正定矩阵。三、无约束目标函数的极值条件必要条件：在点的一阶偏导数为零（即梯度向量为零向量）充分条件：如果它的二阶偏导数矩阵（即海赛矩阵）是负定的，则为极大点；如果它的二阶偏导数矩阵是正定的，则为极小点。一元函数极值条件:对于连续可微的一元函数f(x),如在x*点有极值，其必要条件为：f’(x*)=0若x*为有极小值点，其充分条件为：f”(x*)0二元函数极值条件:对于连续可微函数F(x)=F(x1,x2)在x*点有极值，其必要条件为：F(x*)=0多维函数极值条件:对于连续可微函数F(x)=F