课件11概率论

1).(,)(}.)]({[)Var()(,)Var()(,}])({[,})]({[,222XσXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为为标准差或均方差称即或记为的方差为则称存在若是一个随机变量设复习-----方差的定义()XDX或2离散型随机变量的方差,)]([)(12kkkpXExXD连续型随机变量的方差,d)()]([)(2xxfXExXD方差的计算(1)利用定义计算.)(的概率密度为其中Xxf.,2,1,}{的分布律是其中XkpxXPkk3证明2()[()]DCEcEc二、方差的性质(1)设C是常数,则有.0)(CD2()Ecc.0(2)设X是一个随机变量,a,b是常数,则有D(aX+b)=a²D(X)证明2()[()()]DaXbEaXbEaXb2[()]EaXaEX22[()]aEXEX2()aDX4)D(X)D(X)D(X)XXD(Xn21n21推广：设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量，则(3)D(XY)=D(X)+D(Y)2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}特别,若X与Y相互独立，则D(XY)=D(X)+D(Y)(4)D(X)=0P{X=C}=1,其中C=E(X).5dxexdxxfxXEx222)(21)()(dttedtedtetttt22222222)(21tx22222)(22222221)(}E(X)]-E{[XD(X)dtetdxextx正态分布X~N(,2)6推广:Xi~N(i,i2),(i=1,2,…n),且相互独立，则服从正态分布的随机变量的分布完全由其数学期望和方差所确定．【注】例，已知X与Y相互独立，且)4,5(~),4,5(~NYNX则~2~~YXYXYX)8,10(N)8,0(N)20,15(NniiiniiinkiiCCNXC12211,~7几种重要随机变量的数学期望及方差二项分布X~b(n,p)泊松分布X~P()分布分布密度数学期望E(X)方差D(X).,,2,1,0,)1(}{nkppCkXPknkkn.,2,1,0,!}{kkekXPk均匀分布正态分布X~N(,2).,0,,1)(其它bxaabxfnpnp(1-p)2ba12)(2ab2.,0,21)(222)(xexfx8第一节二维随机变量第二节边缘分布第三节条件分布第四节相互独立的随机变量第五节两个随机变量的函数的分布第六节随机变量之和及积的数字特征第四章多维随机变量及其分布9第一节二维随机变量二维随机变量的分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量10从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章以及第三章内容的推广.111）定义：设E是一个随机试验，它的样本空间是Ω={ω}，设X=X(ω)和Y=Y(ω)是定义在Ω上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。ΩωX(ω)Y(ω)一、二维随机变量12注意事项维随机向量；二维随机变量也称为二⑴我们应把二维随机变量⑵YXYX，，之间是有联系的；与看作一个整体，因为YX上的随机点．可看作平面，量在几何上，二维随机变⑶YX132）二维随机变量的例子身体状况，令考察某地区成年男子的例1高；：该地区成年男子的身X．就是一个二维随机变量，则YX重．：该地区成年男子的体Y，令考察某地区的气候状况例2：该地区的温度；X．就是一个二维随机变量，则YX：该地区的湿度．Y14，，实数则对于任意一对是一个二维随机变量，，设yxYX.的分布函数，为二维随机变量的函数．我们称此函数，是YXyxyYxXPyxF，，二、联合分布函数1）定义152）二元分布函数的几何意义yo(x,y)(X,Y)中的概率．为右上顶点的无穷矩形，以落在，表示平面上的随机点，yxYXyxF163）一个重要的公式，，设：2121yyxx则2121yYyxXxP，22yxF，21yxF，yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)12yxF，11yxF，174）分布函数具有以下的基本性质：（1）F(x,y)是变量x,y的不减函数，即对于任意固定的y,当x1x2时，);,(),(21yxFyxF);,(),(21yxFyxF对于任意固定的y,;0),(yF;0),(xF.1),(;0),(FF,1),(0)2(yxF且对于任意固定的x,当y1y2时，对于任意固定的x,18（3）F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续.yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1).0),(),(),(),()4(11211222yxFyxFyxFyxF19说明上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）．205）n维随机变量是其样本空间，是一个随机试验，设EniXXii，，，21个随机变量．是该样本空间上的n则称nnXXXXXX，，，，，，2121维随机变量．上的为样本空间n216）n维随机变量的分布函数，，，，维实数组意一维随机变量，则对于任是一个，，，设nnxxxnnXXX2121维随机变量我们称此函数为nnXXX，，，21nxxxF，，，21nnxXxXxXP，，，2211.的分布函数22三、二维离散型随机变量．为二维离散型随机变量，个数对，则称无穷的取值是有限个或可列，若二维随机变量YXYX二维离散型随机变量，，设YX的取值为X，，，，ixxx21的取值为Y，，，，jyyy21则称，，，，21jiyYxXPpjiij分布律．联合的，为二维离散型随机变量)(YX1）定义：232）二维离散型随机变量的联合分布律下表表示的联合分布律也可以由，YXYX1y2y…jy…1x11p12p…jp1…2x21p22p…jp2…ix1ipijp…243)二维离散型随机变量联合分布律的性质：性质10jiijyYxXPp，有1jiijp，：性质2，，，，，对任意的21jiji25例3的三个盒子中．令，，编号为将两个球等可能地放入321的联合分布律．，试求YX；，，的可能取值为210X解：号盒中的球数；：放入1X号盒中的球数．：放入2Y．，，的可能取值为210Y00YXP，91231269210YXP，20YXP，9101YXP，9211YXP，9221YXP，P002YXP，9122YXP，P012YXP，P027的联合分布律为，由此得YXYX01209192911929202910028例4次，令将一枚均匀的硬币掷3的联合分布律．，试求YX数；次抛掷中正面出现的次：3X；，，，的可能取值为3210X解：．，的可能取值为31Y次数之差的绝对值．与反面出现次抛掷中正面出现次数：3Y29；010YXP，30YXP，；8111YXP，；83；031YXP，12YXP，；83；032YXP，；013YXP，．8133YXP，的联合分布律为，由此得随机变量YX30XY012310838303810081311）定义：对于二维随机变量(X,Y)分布函数F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使得对于任意的x，y有：yxdudvvufyxF,),(),(则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密度。四、二维连续型随机变量322)概率密度的性质：;0),(10yxf;1),(),(20Fdxdyyxf连续，则有在点若),(),(30yxyxf40设G是平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为：GdxdyyxfGYXP.),(}),{(这个公式非常重要！).,(),(2yxfyxyxF33在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示P{(X,Y)G}的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积.GdxdyyxfGYXP.),(}),{(34例5的密度函数为，设二维随机变量YX；常数求⑴c解：由密度函数的性质，得⑴其它，，00043yxceyxfyx的联合分布函数；，求⑵YX．，求⑶2010YXP．1)4(YXP35dxdyyxf，10043dxdyecyxdyedxecyx040312c．所以，12cxy0,0yx；，0yxF时，或当00yxyxF，)2(yYxXP，其它，，00043yxceyxfyxdudvvufxy，36时，且当00yxyxF，dvedueyvxu040312dudvvufxy，xyvudvedu004312yxee4311其它，，所以，0001143yxeeyxFyx37dyedxeyx204103122010yxdxdyyxf，，20431012dyedxyx8311ee2010YXP，⑶381Ox1x+y=11yxdxdyyxf，1YXP1043101431212dyedxdyedxyxxyx4334eey393）二维均匀分布的密度函数为，如果二维随机变量YXAD其面积为是平面上的有界区域，设上的均匀分布．服从区域，则称二维随机变量DYXDyxDyxAyxf，，，01DxyA40二维均匀分布几何意义:上的均匀分布，则服从区域，如果二维随机变量DYXDyx内；只落在区域，我们可以认为随机点DYX)1的面积成正比，内的概率与内任一个子区域落在11)2DDD中的位置无关。在的形状以及而与DDD111D2D典型的二维几何分布41作业P114：1，2，4预习边缘分布，条件分布