西安交通大学物理教程 第一章 质点运动学

第1章质点运动学本章内容：1.1确定质点位置的方法1.2质点的位移、速度和加速度1.3用直角坐标表示位移、速度和加速度1.4用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度1.5圆周运动的角量表示角量与线量的关系1.6不同坐标系中的速度和加速度变换定理简介Xi’anJaotongUniversity1.1确定质点位置的方法1.1.1质点运动学的基本概念质点:可忽略形状和大小的物体有质量而无形状和大小。质点系:若干质点的集合。xyzOP参照物参考系:参照物+坐标系(1)运动学中参考系可任选。(2)参考物选定后，坐标系可任选。运动形式相同，数学表述不同。(3)常用坐标系直角坐标系（x,y,z）球坐标系（r,θ,）柱坐标系（,,z）自然坐标系(s)讨论Xi’anJaotongUniversity质点某时刻位置P1.1.2确定质点位置的方法1.直角坐标法zxyOz),,(zyxPyx2.位置矢量矢法kzjyixr由位置矢量表示。r位置矢量的大小：222zyxrrP(x,y,z)位置矢量的方向：参考物rxcoscosrzrycosXi’anJaotongUniversity••3.自然坐标法已知质点相对参考系的运动轨迹时，常用自然法。1.1.3运动学方程OsPs)(tss参考物位置矢量ktzjtyitxtrr)()()()(直角坐标)(txx)(tyy)(tzz自然坐标)(tss已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度。意义Xi’anJaotongUniversity一质点作匀速圆周运动，半径为r，角速度为。以圆心O为原点。建立直角坐标系Oxy，O点为起始时刻，设t时刻质点位于P（x,y），用直角坐标表示的质点运动学方程为sin,costrytrxtrs位矢表示为自然坐标表示为xyPtxyOrs例解),(yx'Ojtritrjyixrsincos求用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。Xi’anJaotongUniversity求解hvx220)()(htltxv坐标表示为例如图所示，以速度v用绳跨一定滑轮拉湖面上的船，已知绳初长l0，岸高h取坐标系如图依题意有tltl)(0v质点运动学的基本问题之一是确定质点运动学方程。为正确写出质点运动学方程，先要选定参考系、坐标系，明确起始条件等，找出质点坐标随时间变化的函数关系。0l)(tl)(txO船的运动方程说明Xi’anJaotongUniversity1.2质点的位移、速度和加速度1.2.1位移位移矢量反映了物体运动中位置(距离与方位)的变化。讨论：(1)位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2)位移与坐标系原点的位置无关rtrttrPQ)()((3)与Δr的区别rxyzOPQrsOrOr分清)(tr)(ttrPQsrΔΔXi’anJaotongUniversity1.2.2速度(描述物体运动状态的物理量)1.平均速度rtttrttrtr)()(ΔΔvo)(ttr)(tr2.瞬时速度trttrttrtdd)()(lim0vABB'Av讨论(1)速度有矢量性、瞬时性和相对性。(2)注意速度与速率的区别trtstrtrdddddd,ddvvvrrXi’anJaotongUniversity1.2.3加速度（反映速度变化快慢的物理量）1.平均加速度vtttttta)()(vvv2.瞬时加速度讨论(1)加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。220dddd)()(limtrtttttatvvv)(tv)(ttvvAB)(tv)(ttv)(tr)(ttrO(2)加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。Xi’anJaotongUniversity1.3用直角坐标表示位移、速度和加速度1.3.1位移12rrrkzjyixrxyzOr1r2rPQ时刻t，质点位于P，位矢为1r时刻t+t，质点位于Q，位矢为2rkzjyixr1111kzjyixr2222时间t内质点的位移为kzzjyyixx)()()(121212),,(111zyx),,(222zyx建如图所示坐标，则Xi’anJaotongUniversity1.3.2速度1.平均速度ktzjtyitxtrv2.瞬时速度ktzjtyitxtrddddddddvdd,dd,ddtztytxzyxvvv222zyxvvvv速度的大小为速度的方向用方向余弦表示为cos,cos,cosvvvvvvzyx其中kjizyxvvvvXi’anJaotongUniversity1.3.3加速度taddvktzjtyitx222222ddddddktjtitzyxddddddvvvkajaiaazyxdddd,dddd,dddd222222tztatytatxtazzyyxxvvv222zyxaaaacoscoscosaaazyxaaa大小为方向用方向余弦表示为其中Xi’anJaotongUniversity运动学的二类问题1.第一类问题asr,,,v已知运动学方程，求(1)t=1s到t=2s质点的位移(2)t=2s时a，vjir21jir242jijirrr321)2(2)(412jttrajtjtr2dddd,22dd22vvjaji2,4222v已知一质点运动方程jtitr)(222求例解(1)(2)当t=2s时Xi’anJaotongUniversity解jat16ddvtjt0(t)(0)d16dvvvjt-t16(0))(vvtjtir)d166(dkjtittr886)(2已知ja16kri8060)(,)(vv求和运动方程。代入初始条件kr8(0)代入初始条件2.第二类问题jtd16dvjtit166)(v)(ddttrvttrrtjtir0)()0()d166(d已知加速度和初始条件，求r,v例,t=0时Xi’anJaotongUniversity1.4用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度1.4.1速度)()(tsttss1lim0srsτsrs0limττtsvvddtsddvtssrtssrtttdd)lim()lim)(lim(000τ)(limlim00tssrtrttv)(tr)(ttrrPsvQ1OsLO•(速度在切线方向上的投影)参考物Xi’anJaotongUniversity1.4.2加速度ττtsvvdd)dd(ddddτtsttavtτtsτtsdddddd22大小:ttsdddd22v方向:ττtsaτ22dd令(切向加速度）⇒(反映速度大小的变化)tτtsandddd)(tn)(ttnP)(tQLO)(tt)()(tτttττ)(tτ)(ttττ令(法向加速度）⇒反映速度方向的变化大小(△t→0):)(tτττ方向(△t→0):nnτnttτt0limddXi’anJaotongUniversitynsτtsτtnτanaaτn1)dtd(dddd2222vvnrnaann2vnntτtsan21ddddvvv对于圆周运动aaatstfsnτ,,dd)(v对于平面曲线运动nntssntttv1limlim00tτtτt0limddXi’anJaotongUniversity一汽车在半径R=200m的圆弧形公路上行驶，其运动学方程为s=20t0.2t2(SI).tts4.020ddv根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有4.0ddtaτvRtRan22)4.020(v22222)4.020(4.0Rtaaanτm/s)(6.19(1)v)m/s(96.1200)14.020(4.0(1)2222a例汽车在t=1s时的速度和加速度。求解Xi’anJaotongUniversity已知质点的运动方程为BtztAytAx,sin,cos在自然坐标系中任意时刻的速度解tszyxdd222vvvτBAτtsτdd222vv例求tBtAtAdsincos22222设自然坐标的正方向与质点运动方向相同Xi’anJaotongUniversity讨论(1)在一般情况下nτtstττtτta222dddddd)(ddvvvv其中为曲率半径，引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半径的圆弧所构成n的方向指向曲率圆中心BOCxyv(2)思考抛体运动过程中的曲率半径？AXi’anJaotongUniversity)(tPQo)极轴(x角坐标对圆周运动：)(trr（运动学方程)极径rcr)(t（运动学方程)角位移t（逆时针为正）ttttttωttddΔΔlimΔ)()Δ(lim001.5圆周运动的角量表示角量与线量的关系1.极坐标、角位置与角位移2.角速度（描述质点转动快慢的物理量）3.角加速度（描述质点转动角速度变化快慢的物理量）220ddddd)()(limtttttttα与ω同号质点作加速运动α与ω异号质点作减速运动Xi’anJaotongUniversity4.角量与线量的关系速度与角速度的关系PQo)极轴(xrsrsrωtθrtstddlim0vrtaddvrran2vv2加速度与角速度和角加速度的关系Xi’anJaotongUniversity(2)当=?时，质点的加速度与半径成45o角？(1)当t=2s时，质点运动的an和aτ(rad)423t一质点作半径为0.1m的圆周运动，已知运动学方程为(1)由运动学方程可得求a解例以及的大小212ddtttt24dd22)m/s(4.23022rωan)m/s(8.42raτ)m/s(5.230222τnaaa(2)设t´时刻，质点的加速度与半径成45o角，则nτaat':rrω2'24)'12(22tt'24'1444tts)(55.0'trad)(67.2'423tXi’anJaotongUniversity1.6不同坐标系中的速度和加速度变换定理简介·r'rtu1.基本概念绝对参照系S相对参照系S'研究对象：三种运动:•S'系相对于S系的位移：tu•P点相对于S'系的位移：'r•P点相对于S系的位移：r绝对、相对和牵连运动两个参照系：'sOOyxsuPA'A'A