中心极限定理

第二节中心极限定理大数定律与中心极限定理一、中心极限定理的意义在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和）影响所形成的.例如，炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布？一、中心极限定理的意义如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响所起的作用不大，则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.高斯一、中心极限定理的意义现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？1.iniiXXXX如果将研究对象的整体设为，影响因素为，根据因素间独立与共同作用的本质属性，可以得出在什么条件下极限分布会是正态的呢？一、中心极限定理的意义111()()考虑利用标准化因子nniiiinniiXEXYDX111111()1[()()]0()()nniinniiniinniiiiiiXEXEYEEXEXDXDX111111()1[()]1()()nniinniiniinniiiiiiXEXDYDDXEXDXDX一、中心极限定理的意义在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.1111()()niinniiiinniiXXXEXYDX所以，欲求随机变量的分布，先求标准化因子的分布情况.nY讨论的极限分布是否为标准正态分布.二、李雅普诺夫中心极限定理1.李雅普诺夫(Lyapunov)定理2211112112{}(1,2,),,1,2,()limlim()1()2iiiiinnnniiiiiiiinnnniiiitxXiEXDXiXEXXPxPxDXedtx独立设随机变量序列相互，，则注意：2111()~nnniiiiiiXN近似，1121(01)~nniiiiniiXN近似，二、李雅普诺夫中心极限定理二、李雅普诺夫中心极限定理对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列，将其约束条件改为独立同分布，即2,,1,2,iiEXDXi，则11121()limlim()()nnniiiiiinnniiXEXXnPxPxnDXx林德贝尔格—勒维中心极限定理三、勒维中心极限定理2.林德贝尔格－勒维（Lindeberg-Levy）定理22111212{}(1,2,),,1,2,()limlim()1()2iiinnniiiiiinnniitxXiEXDXiXEXXnPxPxnDXedtx设随机变量序独立同分，布列，则三、勒维中心极限定理三、勒维中心极限定理例1对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69.求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.解：设Xi-第i次轰炸命中目标的炸弹数，i=1,2,…,100三、勒维中心极限定理则100次轰炸命中目标的炸弹总数为iiXX1001依题意，iiiiiiiiEXEXEXDXDXDX1001001110010011()()()200()()()169例1对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69.求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.由中心极限定理,三、勒维中心极限定理(200,169)~XN近似于是，(180220)PX180200200220200()131313XP2020020()131313XP2020()()0.876441313三、勒维中心极限定理例2计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则.为简单计，现从小数点后第一位进行舍入运算，设误差.若一项计算中进行了100次数字运算，求平均误差落入上的概率.XU11[,]2233[,]2020解：设Xi-第i次运算中产生的误差，i=1,2,…,100则诸Xi独立，服从，11[,]22iXU100次运算的平均误差为iiXX10011100()(),()(),iiiiiiiiEXEXEXDXDXDX100100111001002111101001001111001001200于是，依题意，由中心极限定理,1(0,)1200~近似XN3333()(10121012)202020201/1012(33)(3)(3)2(3)10.99731/1012XPXPXP三、勒维中心极限定理对于勒维中心极限定理中的随机变量序列，将其约束条件改为独立同0-1分布，即三、勒维中心极限定理1(1,),,,,1,2,niiAiiiXBpXnEXpDXpqi，111()limlim()()nniiiiAnnniiXEXnnpPxPxnpqDXx拉普拉斯中心极限定理四、拉普拉斯中心极限定理3.棣莫佛－拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）定理211112{}(1,2,)(1,),,,1,2,()limlim()1()2iniiiiAinniiiiAnnniitxXiXBpEXpDXpqiXnXEXnnpPxPxnpqDXedtx独立同0-设随机变量序列，布即，分，1定理表明:二项分布的极限分布是正态分布四、拉普拉斯中心极限定理在n重贝努利试验中，描述A事件发生次数的随机变量服从二项分布.当试验次数较多时，根据中心极限定理，可利用正态分布近似计算二项分布，即1(,),(1,),,,,niiAiiiXBnpXBpXXnEXpDXpq四、拉普拉斯中心极限定理例3100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部工作时间的80%.求任一时刻有70至86台车床工作的概率.解：则iiiiiiiiEXEXEXDXDXDX1001001110010011()()()80()()()160,1,2,,1001,iiXii第台床不工作设第台床工作iXB(1,0.8)依题意，四、拉普拉斯中心极限定理例3100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部工作时间的80%.求任一时刻有70至86台车床工作的概率.由中心极限定理,1001(80,16)~iiXXN近似于是，7080808680(7086)()444580335()()()0.972724222XPXPXP五、课程小结1.标准化因子111()()nniiiinniiXEXYDX01.nnEYDY，五、课程小结中心极限定理其实是描述的随机变量序列和，经标准化后，当序列容量无限大时的极限分布.2.中心极限定理的内容111()~nnniiiiiiXNEXDX近似，从而111()(01)()~nniiiiniiXEXNDX近似，即{}01iX独立李雅普诺夫中心极限定理相互独立的独立同分布勒维中心极限定理独立同分布拉普拉斯中心极限定理五、课程小结111111()(01)(()())()~~nniinnniiniiiniiiiiXEXYNXNEXDXDX近似近似，，2111()~nnniiiiiiiXXN近似独立，22111(),()~~nniiiiiXXNnnXXNnn近似近似独立同分布，，10-1()~niiAiXXnNnpnpq近似独立同分布，六、课堂练习根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y1920).设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16解：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119六、课堂练习