第三章 《工业机器人》静力学与动力学

11工业机器人第三章工业机器人静力学和动力学高丽华2017.10.91221机器人静力学静力学问题（1）假设构件处于静止状态（2）关节力手端输出力233正向静力学——已知各关节驱动力（力矩），求手部端点能输出的力（力矩）。逆向静力学——已知手部端点作用力（力矩），求关节需施加的力（力矩）。441机器人静力学1.1雅克比矩阵数学上雅克比矩阵(Jacobianmatrix)是一个多元函数的偏导矩阵。假设有6个函数，每个函数有6个变量，即：4555666例1图3-1为二自由度平面关节型工业机器人，其端点位置x、y与关节变量,的关系为：1277788式（3-6）简写为：称为图3-1所示二自由度平面关节型工业机器人的速度雅克比矩阵，它反映了关节空间微小运动与手部作业空间微小位移之间的关系。此时表示微小线位移。对式（3-7）进行运算，得到2R工业机器人的雅克比：8JddXdX99910101011111.2静力学方程手部端点广义力（力矩）F手部端点虚位移关节广义驱动力（力矩）τ关节虚位移忽略重力、摩擦力等11nFFFF21n21PqzyxP654321qqqqqqq121243212211FFFFqqWzyx0)(TTFJTJF雅可比转置矩阵TJ虚位移原理：TTWqFP即0W由PFqWTTqJFqTT0)(qFJTT有1313例2：二自由度平面关节机器人，已知端点力，忽略摩擦、重力，求时关节力矩。01902解：1221221112212211clclclslslslJ1221221221112211clslclclslslJTYXTFFclslclclslslFJ122122122111221121YXYXFclFslFclclFslsl122122212211122111)()(1414XYXFlFlFl22121YXYXFclFslFclclFslsl122122212211122111)()(01902将代入上式，得：15152机器人动力学2.1动力学两类问题：正向动力学——知各关节驱动力（力矩），求末端夹持器及各关节位移、速度、加速度。——工业机器人运动仿真。逆向动力学——知末端夹持器及各关节位移、速度、加速度，求实现这些关节运动参数所需的关节驱动力（力矩）。——工业机器人实时控制。1616要准确实现预定的末端夹持器时变位姿及速度，要按动力学方程求出各关节相应时变驱动力矩。然后准确控制各伺服驱动马达的驱动力矩。1717动力学问题的困难：工业机器人是由多个连杆和多个关节组成的复杂的动力学系统，具有多个输入多个输出。存在着错综复杂的耦合关系和严重的非线性。动力学求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此简化求解过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线运算时间是一个受到关注的重要课题。18182.2动力学求解方法：常用以下两方法。1、牛顿—欧拉方程法(1)牛顿方程—刚体质心运动方程dtdvmmaF(2)欧拉方程—刚体转动方程IIMCC1919ZYZXZYZYXYXZXYXCIIIIIIIIIIdVzyIVX22dVzxIVY22dVyxIVZ22dVxyIVXYdVxzIVXZdVyzIVYZIM平面定轴转动：2020特点：每个杆件列出动力学方程组，含有关节间约束力，计算麻烦，但便于进行构件强度计算。21212、拉格朗日方程法公式中不含关节间约束力（运动副反力），计算较简化。2222拉格朗日方程法一、力学分析思路进程（以平面运动为例）1、静力分析：匀速运动或静止。不考虑惯性力及动载荷，合外力或力偶距之和为零。00MF23232、动力分析：变速运动。解法①动力学方程法JMmaF00JMmaF②动静法——达伦伯原理——考虑惯性力缺点：出现运动副反力24243、虚位移原理：静力平衡状态下，所有主动力在任何虚位移中的功之和为零——分析静力学。好处：运动副反力不出现。几何静力学：二力平衡，三力汇交分析静力学：虚位移原理0iixF25254、动力学普遍方程：动力学问题=达伦伯原理+虚位移原理动力学问题→增加惯性力→静力学问题→达伦伯原理→虚位移原理。特点：不出现约束力，但方程数太多，解太多的联立方程（一个空间杆件一般需解6个方程），属于牛顿力学范畴。nigiiFF10)(26265、拉格朗日方程广义坐标，广义力——属于分析力学范畴动力学方程数与自由度数相等。常规6自由度机器人只解6个方程。2727iiiFqLqLdtdqiFi=1,2,3,…..n与自由度数相等L=T-U——拉格朗日函数T——系统动能U——系统势能q——广义坐标。移动或转动——广义坐标一阶导数——广义力（非有势力，即不含重力、弹力等）。广义坐标是移动时对应的广义力是力，广义坐标是转动时对应的广义力是力矩。2828例3如图两杆工业机器人模型，质量m1,m2在端部，已知L1,L2，试用拉格朗日方程法进行动力学分析。二连杆工业机器人2929解：1、选择广义坐标2、选择广义力关节驱动力矩：τ1,τ22211qq2211FFτ1τ230303、写出构件1、2的动能，势能(1)构件1的动能(2)构件1的势能21.211121lmT1111cosglmU3131(3)构件2的动能质心坐标)cos(cos)sin(sin212112212112llyllx3232质心分速度（方程两边同时对时间t求导数）))(sin(sin))(cos(cos.2.1212.1112..2.1212.1112.llyllx3333质心速度:构件2的动能)(cos2)2(.2.1.21221.22.2.1.2122.212122.22.22llllxyv)](cos2)2([21.2.1.21221.22.2.1.2122.212122llllmT3434(4)构件2的势能)(coscos21221122glmglmU35354、写出拉格朗日函数5、对拉格朗日函数求导2121UUTTUTL1L2L2L1LiiiFqLqLdtd3636对时间t求导，求得：1Ldtd2LdtdiiiFqLqLdtd拉格朗日方程37376、带入拉格朗日方程iiiFqLqLdtd38387、导出机器人动力学方程——机器人运动微分方程。2212111222122221222212212221211212221222coscos2sinsinsinsin()mmmmllmlmllmllmmglmllmglll212222212222122212221222212cossinsinsin()mlmllmlmllmllmgl3939机器人动力学方程——机器人运动微分方程。12112111222122211112121111)(DDDDDDD22122121222222212112221212)(DDDDDDD111D212D21111D21121112)(DD惯性力影响项耦合力影响项222D121D22222D离心力影响项哥氏力影响项21221212)(DD2D1D重力影响项40402.3手端无约束机器人动力学方程通式)(),()(qGqqHqqDqqD)(),(qqH)(qG惯性力影响项离心(哥氏）力影响项重力影响项4141)(),()(qGqqHqqD2.4手端运动受限机器人动力学方程通式FJT'F'4242简化方法：当杆件质量不是很大，重量很轻时，动力学方程的重力矩项可以省略；当关节速度不是很大，工业机器人不是高速机器人时，含有可以省略；当关节加速不是很大，即关机电机升降速度不是很突然时，含项可以省略，但是，关节加速减少，引起速度升降时间增加，延长了工业机器人的作业循环时间。221212，，12，