椭圆离心率总结汇总

有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------1关于椭圆离心率设椭圆xaybab222210（）的左、右焦点分别为FF12、，如果椭圆上存在点P，使FPF1290，求离心率e的取值范围。解法1：利用曲线范围设P（x，y），又知FcFc1200（，），（，），则FPxcyFPxcyFPFFPFPFPFPxcxcyxyc1212121222229000()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得xacababFPFxaacababa2222222122222222229000但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）cbcaccaecaecae2222222221221[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------2又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此FPFPFPFFFcPFPFacPFPFuauac12122212221222122229042220||||||||||()||||()4801222222222aacecae()因此，e[)221解法3：利用三角函数有界性记PFFPFF1221，，由正弦定理有||sin||sin||sin||||sinsin||||||||sinsinsincoscosPFPFFFPFPFFFPFPFaFFceca121212121212902211222122又，，则有而知从而可得09002452221221||||cose有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------3解法4：利用焦半径由焦半径公式得||||||||||PFaexPFaexPFPFFFacxexacxexcaexcxcaePxyxaxa12122212222222222222222222224220，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222caeae得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPFPF||||平方后得42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFFFc||||||||(||||)||得ca2212所以有，）e[221解法6：巧用图形的几何特性由FPF1290，知点P在以||FFc122为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有cbcbac2222由此可得，）e[221有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------4水深火热的演练一、直接求出ac，或求出a与b的比值，以求解e。在椭圆中，ace，22222221ababaacace1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于322.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为223.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21FF,则椭圆的离心率为214.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为12。5.若椭圆)0(,12222babyax短轴端点为P满足21PFPF，则椭圆的离心率为e22。6..已知)0.0(121nmnm则当mn取得最小值时，椭圆12222nymx的的离心率为237.椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，，若12MNFF≤，则该椭圆离心率的取值范围是212，8.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e22。9.P是椭圆22ax+22by=1（a＞b＞0）上一点，21FF、是椭圆的左右焦点，已知有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------5,2,1221FPFFPF,321PFF椭圆的离心率为e1310.已知21FF、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若75,151221FPFFPF，则椭圆的离心率为3611.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为2212.设椭圆2222byax=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是21。13.椭圆12222byax（ab0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于21∣AF∣，则椭圆的离心率是36。14.椭圆12222byax（ab0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是21515.已知直线L过椭圆12222byax（ab0）的顶点A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L的距离为2a，则椭圆的离心率是3616.在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=22有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------617.设椭圆22221(0)xyabab的离心率为1e2，右焦点为(0)Fc，，方程20axbxc的两个实根分别为1x和2x，则点12()Pxx，（A）Ａ．必在圆222xy内Ｂ．必在圆222xy上Ｃ．必在圆222xy外Ｄ．以上三种情形都有可能二、构造ac，的齐次式，解出e1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是532．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是133．以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是134．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是215．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是336．设12FF、分别是椭圆222210xyabab的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为半焦距）的点，且122FFFP，则椭圆的离心率是22三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1．已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是2(0,)22．已知21FF、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且9021PFF，椭圆离心率e的取值范围为1,223．已知21FF、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且6021PFF，有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------7椭圆离心率e的取值范围为1,214．设椭圆12222byax（ab0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120º，椭圆离心率e的取值范围为136e5．在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e38．6．设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是313，7．如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是13BCFEADBCFEADFEAD有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------8椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=｜PF｜｜PD｜②e=｜QF｜｜BF｜③e=｜AO｜｜BO｜④e=｜AF｜｜BA｜⑤e=｜FO｜｜AO｜DBFOBBBAPQ有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------9评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=a2c∴有③。题目1：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜BAF2F1有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------10=3cc+3c=2a∴e=ca=3-1变形1：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=3-1变形2:椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2F2F22有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------11解：∵｜PF1｜=b2a｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴｜PF1｜｜F2F1｜=ba又∵b=a2-c2∴a2=5c2e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?BAF2F1PO有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------12解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2e2+e-1=0e=-1+52e=-1-52(舍去)变形：椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，e=-1+52,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。FBAO有这么一个故事-------------离心率经典的，不会那么容易过时-------------13性质：1、∠ABF=