2018新课程标准下数学高考复习的几点思考(成礼智)

-1-2018新课程标准下数学高考备考的几点思考成礼智引言教育部长陈宝生曾指出，到2020年我国将全面建立起新的高考制度。湖南很有可能于2018年正式启动高考综合改革，即从2018年进入高中一年级的学生开始实施，到2021年高考时按新的制度录取新生。2018年到2021年还有三年的过渡时间，伴随着新高考制度下数学文理不分科等新的高考方案的实施，有必要研究全国高考数学试卷的命题趋势以及命题方向，做到有针对性的复习备考。主要内容一、课程标准的比较与高考试题命制1.1从新课程目标的表述看看数学试题1.2新旧课程标准的内容比较与高考试题趋势分析二、最近八年全国卷试题风格与简要分析三、2017年解答题解读以及对2018年高考备考的一点思考一、课程标准的比较与高考试题命制1.1从新课程目标的表述看高考数学试题在新的课程标准中，明确提出了数学学科核心素养的概念，主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流。-2-数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题。直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。另外，新的课程标准与旧的课程标准一样一如既往地提出要重点渗透数学文化，全文中有19处提到数学文化一词，与旧的课程标准不同的是，新课程标准在p.108，案例18对杨辉三角的概念性质以及影响进行了讨论.在新旧两个版本的课程标准中，新的课程标准从现有课程标准中的课程目标中明确的提炼出了六大核心素养的概念，为数学教学与高考复习指明了方向.下面主要从数学建模与数据分析以及数学文化等三个方面对高考数学进行分析.﹡数学建模与高考数学建模在新的课程标准里面占有非常重要的比重，例如，新的课程标准一共提供了37个教学案例，其中有17个案例都属于数学建模的内容，而在新教材的编写过程中数学新课标专家组主要领导多次强调新教材一定强调数学建模的内容，湘教版数学新教材中专门有一章名字就叫数学建模，同时还在一些主要章节后面附录中配了数学建模的例题.（第六章数学建模，附录等等展示）-3--4--5--6-如何将数学建模的内容反映到高考中去？从2005年到2013年，湖南省连续9年在数学高考中采用两大题偶尔还有一小题为数学建模（或称应用）试题，和江苏、上海、湖北等省市为坚持考查应用意识最多的省份之一。其中两大题分别为概率统计题+函数、三角、数列等，随着2016年开始使用全-7-国卷，题型分布与试题风格也发生了较大的变化，一般为一大一小两道题，随着新的课程标准进一步加大数学建模的分量，但是，全国高考卷可能性最大的仍然是一大一小（偶尔也许会出现一大两小）类型的试卷，理由如下：1.全国卷题型与知识点的分布长期稳定，在高考改革的过渡期应该会继续坚持平稳过渡的思想，一般暂时不会改变试题的整体结构；2.全国卷大题始终保持在五道题，分别为数列+三角、立体几何、概率统计、圆锥曲线、函数导数不等式，除了概率统计外，如果再出现一道大的应用题，由于数学建模的一个重要组成部分为实际问题的理解（建模），从而势必降低对其他重要知识点的考核要求.估计仍然以大题：概率统计+小题：线性规划、数列、三角灯知识点的形式考察学生的数学建模素养.如何理解新课程标准中核心素养：数据分析与高考的关系？在旧的课程标准里面，主要以数据处理为主，一次提到：能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。而新的课程标准里面明确提出数据分析作为核心素养，并且将其表现形式定义为：收集和整理数据（旧版称用计算机处理数据，新版），理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识。我认为，数据分析的内容更加丰富，并且在2016与2017年的全国新课标高考概率统计试题中得到了体现，而在新课程标准的案例中也有较多体现，例如：案例28体重与脉搏生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温。研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比，并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比。表4给出一些动物体重与脉搏率对应的数据。表4一些动物的体重和脉搏率-8-回答下面的问题：（1）请你根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型。（2）从表4可以看到，体重越轻的动物脉搏率越高。请根据上面所提供的数据寻求数量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型。（3）根据表4，作出动物的体重和脉搏率的散点图，验证建立的数学模型。该例选入湘版教材中对该问题的数学模型.（见附件1）它的数据分析与处理体现在何处？首先，这是一道概率统计中的线性回归之数据拟合问题，但给出的数据其散点并不是落在某条直线附近，因此，不能直接采用一次回归模型求解，但是，画出图形后发现动物体重与脉搏呈现出指数形式，故通过分析数据特征，理解并整理数据（对脉搏数据取对数），得到近似于直线的散点图，然后再用回归模型求解.该问题直接作为实体呈现给学生有一定难度，但是是否可以对其改造变成一道考试试题？这是有可能的.为了降低难度，例如，模仿2017年全国卷新课标I卷的做法，在题目中给出脉搏数据的对数值（让学生分析、观察、理解题意，找出求解方法），后面的设问基本不变，即可以构成一道考试题.﹡数学文化与高考随着新时代的来临，中国传统文化会越来越受到重视：党中央、国务院：要去全体教师强化钢笔字、毛笔字与粉笔字，教育部长点赞：经典咏流传（传承中华优秀传统文化为主题），因此，数学文化在高考中会越来越受到重视，对数学文化的考查，没有呈现出人们预估的“飓风暴雨”式，但是，2017年高考数学试题仍然以清风和雨式的形式出现了表2017年全国高考数学文化试题特征省份题号题型背景出处呈现方式价值知识点全国I卷理2选择题太极图《庄子》隐形美学价值几何概型全国II卷理3选择题数列《算法统宗》显性应用价值等比数列的前n和浙江卷11填空题割圆术《九章算术注》显性人文价值内接六边形面积山东卷理6选择题素数隐形科学价值算法程序框图从上表可以看出，题型主要以选择题和填空题，考查数学文化的人文价值、美学价值、应用价值和科学价值，分别涉及概率、数列、几何与算法等数学知识.例1（2017年全国理科高考卷II第3题）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的-9-概率是（）A．14B．π8C．12D．π4类似图形也出现在北京市高考试题以及2002年世界数学家大会的会徽图案中.例2（2017年全国高考数学II第三题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏例3（2017年浙江省数学高考试题第11题）11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S，6S．例4（2017年山东省数学高考理科第6题）执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0-10-2017年以前，包括全国卷、湖北卷等都对数学文化进行了许多考查，在高考备考中，建议从课程标准寻找合适的材料。例如，必修1阅读材料“中外历史上的方程求解”、必修2中的探究与发现材料“祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积”、必修3算法案例中“海伦和秦九韶”“九连环”，选修部分的“杨辉三角”等.1.2新旧课程标准的内容比较与高考试题趋势分析新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：必修课程主题学分课时包含的内容与现形课标的对照，在现形课标中的位置与现形课标对比，内容的不同主题一（预备知识）819集合A版：必修1第一章1.1节考查知识点基本不变B版：必修1第一章全部内容考查知识点基本不变常用逻辑用语（与A版内容较接近）A版：选修2-1第一章1.1节，1.2节，1.4节基本不变B版：选修2-1第一章1.1节，1.3节新课标增加了全称量词与存在量词一元二次函数、方程和不等式（与B版内容接近）A版：必修1第二章2.3节中与幂函数有关的一元二次函数提了出来必修5第二章3.1节，3.2节，3.4节中关于不等式的知识知识点基本不变不等式与现形课标相比少了二元一次不等式及线性规划B版：必修1第二章2.2节中的2.2.2，2.2.3中的一元二次函数知识必修5第三章3.1节，3.2节，3.3节，3.4节中的不等式知识基本不变主题二（函数及应用）54函数概念与性质（与A版内容接近）A版：必修1第一章1.2节，1.3节基本不变；函数的性质并入了三角函数来了解函数的周期性B版：必修1第二章2.1节增加了函数的最值与周期性幂函数、指数函数、对A版：必修1第二章2.1节，2.2节，基本不变-11-数函数（与A版内容接近）2.3节B版：必修1第三章3.1节，3.2节，3.3节基本不变三角函数（与A，B版内容相差不大）A版：必修4第一章全部内容及第三章全部内容基本不变B版：必修4第一章全部内容及第三章全部内容基本不变函数综合应用（与A版内容接近）A版：必修1第三章全部内容基本不变B版：必修1第二章2.3节，2.4节增加了函数模型主题三（几何与代数）44平面向量及应用（与A，B版相差不大）A版：必修4第二章全部内容基本不变B版：必修4中第二章全部内容基本不变复数（与A版内容接近）A版：选修2-2第三章全部内容增加了选学内容“复数的三角表示”B版：选修2-2无教材立体几何初步（与B版内容接近）A版：必修2第一章全部内容及第二章全部内容基本不变B版：必修2第一章全部内容基本不变主题四（统计与概率）18统计（与A,B版内容相差不多）A版：必修3第二章2.1节，2.2节基本不变；知识点统计图表中加入了“梳理义务教育阶段学过的统计图表”B版：必修3第二章2.1节，2.2节基本不变概率（与A,B版内容相差不多）A版：必修3第三章全部内容基本不变B版：必修3第三章3.1节，3.2节，3.4节基本不变主题五（数学建模与5数学建模与数学探究要求学生完成一个课题研究，包括选题、开题、做题、数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这-12-数学探究）结题四个环节。学生需要撰写开题报告，根据选题内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物或研究论文等多种形式。在课题研究中逐步提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观想象数学素养。些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中。选修1主题一（函数及应用）632数列（与A版内容接近）A版：必修5第二章全部内容增加了“数学归纳法”B版：必修5第二章全部内容增加了“数学归纳法”一元函数导数及应用（与A版内容接近）A版：选修2-2第一章全部内容1.删掉了“生活中的优化问题举例”这一知识点2.微积分的创立与发展没有提到通过实例。B版：选修2-2无教材主题二（几何与代数）42空间向量与立体几（与B版内容接近）A版：选修2-1第三章全部内容基本不变；用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面距离问题这一知识点中加入了“能用框图描述解决这一类