高等数学定积分在几何上的应用ppt

第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用第五章定积分及其应用第一节定积分及其计算第二节定积分在几何上的应用第三节定积分在物理上的应用NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用第二节定积分在几何上的应用一.定积分的微元法二.定积分求平面图形的面积本节主要内容:三.定积分求体积四.平面曲线的弧长NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用一.定积分的微元法设曲边梯形由连续曲线以及两直线所围成,badxxfA)(曲边梯形的面积解决步骤:1)分割2)取近似3)求和4)取极限abxyoiix1x1ix1nx12NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用设函数y=f(x)在[a,b]上连续,(1)在区间[a,b]上任取小区间[x,x+dx],相应地小区间上面积的近似值为:ΔA≈f(x)dxabxyo)(xfyxdxxdA面积元素记作dA(2)将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得lim()dAfxx()dbafxxdbaANanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:1)选取积分变量,确定它的变化区间[a,b];2)在区间[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],并在小区间上找出所求量F的微元dF=f(x)dx(局部近似值);3)求定积分()dbaFfxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用二.定积分求平面图形的面积(一)直角坐标系下平面图形面积的计算1.由曲线y=f(x)和直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形xyo)(xfyab曲边梯形的面积()dbaAfxxxdxx面积微元:d()dAfxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用2.求由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x))及直线x=a,x=b所围成平面曲边梯形的面积[()()]dbaAfxgxx面积微元:d[()()]dAfxgxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用3.求由两条曲线x=(y),x=(y),((y)(y))及直线y=c,y=d所围成平面曲边梯形的面积:[()()]ddcAyyy面积微元:d[()()]dAyyyNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用例1求由y2=x,y=x2所围成的图形的面积选x为积分变量x[0,1]两曲线的交点(0,0),(1,1)面积微元:2()Axxxdd102()Adxxx3311200233xx.312xy2yxNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用例2求由y2=2x,y=x-4所围成的图形的面积两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[y.1824422dyyyA22yx4yxNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用1S2S42–24–4问题若选x为积分变量呢？21SSS2082[()24]2][()2xxxxxxdd280222(24)xxxxxdd3328282202222122224332xxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用例3求由y=cosx,y=sinx在区间[0,]上所围成的图形的面积.两曲线的交点2(,)42sincosyxyx12404404(cossin)d(sincos)d(sincos)(cossin)22AAAxxxxxxxxxx1A2ANanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用设曲边梯形的曲边参数方程为,)()(tyytxx其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到:baAydx;)()()()(11dttxtybxaxdcAxdy.)()()()(11dttytxdycy参数方程情形:)()(11)()(bxaxtdxty)()(11)()(dycytdytxNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用例4求摆线的一拱与x轴围成的图形的面积.(sin)(0,02)(1cos)xattatyat20daAyx20(1cos)(1cos)datatt2220(12coscos)dattt23aNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab例5求椭圆的面积.22221xyabNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴.极坐标系:极坐标系是由一个极点和一个极轴构成,极轴的方向为水平向右.①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用θOρM点的极坐标设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用如果ρ是正的,则在OP上取一点M使得OM=ρ;如果ρ是负的,则在OP的反向延长线上取一点M使得OM=ρ.极角θ为正表示逆时针旋转,为负表示顺时针旋转.θOρMPNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用86356234376531161M2M3M4MNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用cossinxy222tan(0)xyyxx极坐标和直角坐标互化公式:极坐标化直角坐标公式直角坐标化极坐标公式NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用(二)极坐标系下面积的计算曲边扇形是由曲线()及射线,()所围成的图形.1.取极角为积分变量,其变化区间为[,]21d()d2A以圆扇形面积近似小曲边扇形面积,得到面积元素:2.[,d][,]21[()]d2A3.作定积分()xdNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用例6计算心形线=a(1+cos)所围图形的面积210122[(1cos)]d2AAa220(1cos)ad220(12coscos)dao1A2031(2coscos2)d22a220313[2sinsin2]242aaNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用0xya24222cos2a所围面积.求双纽线练习NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用24014()2Sd22.a解由对称性240142cos22ad2404cos2ad2402sin2a222cos2a所围面积.求双纽线练习NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)(3)确定积分变量及被积函数;(4)计算积分.NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用设立体介于平面x=a,x=b之间,立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).三.定积分求体积(一)平行截面面积为已知的立体体积xA(x)dV=A(x)dxx.aVbbaxxAVd)(体积元素为dv=A(x)dx.NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用例7设有底圆半径为R的圆柱,被一与圆柱面交成角且过底圆直径的平面所截,求截下的锲形体积.oyRxy22xR–RRytan(x,y),)tan(xR截面积A(x)RRxxRd)tan(tanRRRxxAVd)(NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用(二)旋转体的体积旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体.这条直线叫做旋转轴.圆柱圆台圆锥NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用xf(x)ab曲边梯形:y=f(x),x=a,x=b(ab),y=0绕x轴旋转NanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴厚度为dx的切片,用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积于是体积元素为dV[f(x)]2dx.2[()]dbaVfxxNanjingCollegeofInformationandTechnology第五章定积分及其应用第二节定积分在几何上的应用xoy)(yxcdy当考虑连续曲线段绕y轴