2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--3.3三角函数的图象和性质

1第三章第三节三角函数的图象和性质题组一三角函数的定义域问题1.函数y＝tan4x(-)的定义域是()A．{x|x≠π4，x∈R}B．{x|x≠－π4，x∈R}C．{x|x≠kπ＋π4，k∈Z，x∈R}D．{x|x≠kπ＋3π4，k∈Z，x∈R}解析：∵x－π4≠kπ＋π2，∴x≠kπ＋34π，k∈Z.答案：D2．求下列函数的定义域：(1)y＝cosx＋tanx；(2)y＝lg(2sinx－1)＋－tanx－1cos(x2＋π8).解：(1)要使函数有意义，则cosx≥0，tanx≥0，即2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，kπ≤x＜kπ＋π2，(k∈Z)，所以2kπ≤x＜2kπ＋π2(k∈Z)．所以函数y＝cosx＋tanx的定义域是{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2，k∈Z}．(2)由函数式有意义得2sinx－1＞0，－tanx－1≥0，cos(x2＋π8)≠0，2得sinx＞12，tanx≤－1，x2＋π8≠kπ＋π2，(k∈Z)．即2kπ＋π6＜x＜2kπ＋5π6，kπ－π2＜x≤kπ－π4，x≠2kπ＋3π4，(k∈Z)．求交集得2kπ＋π2＜x＜2kπ＋3π4(k∈Z)．所以函数的定义域是{x|2kπ＋π2＜x＜2kπ＋3π4，k∈Z}．题组二三角函数的单调性3.若函数y＝sinx＋f(x)在[－π4，3π4]内单调递增，则f(x)可以是()A．1B．cosxC．sinxD．－cosx解析：y＝sinx－cosx＝2sin(x－π4)，－π2≤x－π4≤π2，满足题意，所以f(x)可以是－cosx.答案：D4．求y＝3tan(π6－x4)的周期及单调区间．解：y＝3tan(π6－x4)＝－3tan(x4－π6)，∴T＝π|ω|＝4π，∴y＝3tan(π6－x4)的周期为4π.由kπ－π2＜x4－π6＜kπ＋π2，得4kπ－4π3＜x＜4kπ＋8π3(k∈Z)，y＝3tan(x4－π6)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k∈Z)内单调递增．∴y＝3tan(π6－x4)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k∈Z)内单调递减．题组三三角函数的值域与最值5.已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，12]，则b－a的值不可能是()3A.π3B.2π3C．πD.4π3解析：画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为[2π3，4π3]．答案：A6．已知函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于()A.23B.32C．2D．3解析：由题意知T4≤π3，T＝2πω，解得ω≥32.答案：B7．设函数f(x)＝2cos2x＋3sin2x＋a(a为实常数)在区间[0，π2]上的最小值为－4，那么a的值等于()A．4B．－6C．－4D．－3解析：y＝cos2x＋3sin2x＋a＋1＝2sin(2x＋π6)＋a＋1，∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，7π6]，∴ymin＝2×(－12)＋a＋1＝a＝－4.答案：C8．(2010·诸城模拟)设函数f(x)＝2cos2x＋23sinx·cosx＋m(m，x∈R)(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，π2]时，求实数m的值，使函数f(x)的值域恰为[12，72]．解：(1)f(x)＝2cosx＋23sinxcosx＋m＝1＋cos2x＋3sin2x＋m＝2sin(2x＋π6)＋m＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin(2x＋π6)≤1，4m≤f(x)≤m＋3.又12≤f(x)≤72，故m＝12.题组四图象和性质的综合应用9.(2009·江西高考)函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为()A．2πB.3π2C．πD.π2解析：f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2sin(x＋π6)，T＝2π|ω|＝2π.答案：A10．(2009·福建四地六校联考)若函数f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝π3对称；③在区间[－π6，π3]上是增函数．则y＝f(x)的解析式可以是()A．y＝sin(2x－π6)B．y＝sin(x2＋π6)C．y＝cos(2x－π6)D．y＝cos(2x＋π3)解析：逐一验证，由函数f(x)的周期为π，故排除B；又∵cos(2×π3－π6)＝cosπ2＝0，故y＝cos(2x－π6)的图象不关于直线x＝π3对称；令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，∴函数y＝sin(2x－π6)在[－π6，π3]上是增函数．答案：A11．已知f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω＞0)，f(π6)＝f(π3)，且f(x)在区间(π6，π3)有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：由f(π6)＝f(π3)，知f(x)的图像关于x＝π4对称．且在x＝π4处有最小值，∴π4ω＋π3＝2kπ－π2，有ω＝8k－103(k∈Z)．又∵12T＝πω＞π3－π6＝π6，5∴ω＜6，故k＝1，ω＝143.答案：14312．(文)若a＝(3cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，其中ω＞0，记函数f(x)＝(a＋b)·b＋k.(1)若函数f(x)的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若函数f(x)的最小正周期为π，且当x∈[－π6，π6]时，函数f(x)的最大值是12，求函数f(x)的解析式，并说明如何由函数y＝sinx的图象变换得到函数y＝f(x)的图象．解：∵a＝(3cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，∴a＋b＝(3cosωx＋sinωx，sinωx)．故f(x)＝(a＋b)·b＋k＝3sinωxcosωx＋sin2ωx＋k＝32sin2ωx＋1－cos2ωx2＋k＝32sin2ωx－12cos2ωx＋12＋k＝sin(2ωx－π6)＋k＋12.(1)由题意可知T2＝π2ω≥π2，∴ω≤1.又ω＞0，∴0＜ω≤1.(2)∵T＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f(x)＝sin(2x－π6)＋k＋12.∵x∈[－π6，π6]，∴2x－π6∈[－π2，π6]．从而当2x－π6＝π6，即x＝π6时，f(x)max＝f(π6)＝sinπ6＋k＋12＝k＋1＝12，∴k＝－12.故f(x)＝sin(2x－π6)．由函数y＝sinx的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y＝sin(x－π6)的图象，再将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x－π6)的图象．(理)(2009·重庆高考)设函数f(x)＝sin(π4x－π6)－2cos2π8x＋1.(1)求f(x)的最小正周期；6(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，43]时，y＝g(x)的最大值．解：(1)f(x)＝sinπ4xcosπ6－cosπ4xsinπ6－cosπ4x＝32sinπ4x－32cosπ4x＝3sin(π4x－π3)，故f(x)的最小正周期为T＝2ππ4＝8.(2)法一：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin[π4(2－x)－π3]＝3sin(π2－π4x－π3)＝3cos(π4x＋π3)．当0≤x≤43时，π3≤π4x＋π3≤2π3，因此y＝g(x)在区间[0，43]上的最大值为gmax＝3cosπ3＝32.法二：因区间[0，43]关于x＝1的对称区间为[23，2]，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故y＝g(x)在[0，43]上的最大值即为y＝f(x)在[23，2]上的最大值．由(1)知f(x)＝3sin(π4x－π3)，当23≤x≤2时，－π6≤π4x－π3≤π6.因此y＝g(x)在[0，43]上的最大值为gmax＝3sinπ6＝32.