2017高考数学(浙江专版)二轮复习与策略课件 专题5 数列的通项与求和

2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页核心知识·聚焦热点题型·探究专题限时集训突破点5数列的通项与求和2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页提炼1an和Sn的关系若an为数列{an}的通项，Sn为其前n项和，则有an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.在使用这个关系式时，一定要注意区分n＝1，n≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页提炼2求数列通项常用的方法(1定义法：①形如an＋1＝an＋c(c为常数，直接利用定义判断其为等差数列.②形如an＋1＝kan(k为非零常数且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列.(2叠加法：形如an＋1＝an＋f(n，利用an＝a1＋(a2－a1＋(a3－a2＋…＋(an－an－1，求其通项公式.(3叠乘法：形如an＋1an＝f(n≠0，利用an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1，求其通项公式.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页(4待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1≠0，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t，其中t＝q1－p，再转化为等比数列求解.(5构造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1≠0，先在原递推公式两边同除以qn＋1，得an＋1qn＋1＝pq·anqn＋1q，构造新数列{bn}其中bn＝anqn，得bn＋1＝pq·bn＋1q，接下来用待定系数法求解.(6取对数法：形如an＋1＝pamn(p0，an0，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页提炼3数列求和数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页回访1数列求和1.(2014·浙江高考已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝(2bn(n∈N*.若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1求an与bn；(2设cn＝1an－1bn(n∈N*.记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn；②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有Sk≥Sn.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页[解](1由题意知a1a2a3…an＝(2bn，b3－b2＝6，知a3＝(2b3－b2＝8.又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去，2分所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*，所以，a1a2a3…an＝2nn＋12＝(2n(n＋1.故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1(n∈N*.5分2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页(2①由(1知cn＝1an－1bn＝12n－1n－1n＋1(n∈N*，所以Sn＝1n＋1－12n(n∈N*.7分②因为c1＝0，c20，c30，c40，当n≥5时，cn＝1nn＋1nn＋12n－1，9分而nn＋12n－n＋1n＋22n＋1＝n＋1n－22n＋10，2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页得nn＋12n≤5×5＋1251，11分所以，当n≥5时，cn0.综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.14分2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页回访2数列的综合问题2.(2016·浙江高考设数列{an}满足an－an＋12≤1，n∈N*.(1证明：|an|≥2n－1(|a1|－2，n∈N*；(2若|an|≤32n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页[证明](1由an－an＋12≤1，得|an|－12|an＋1|≤1，故|an|2n－|an＋1|2n＋1≤12n，n∈N*，2分所以|a1|21－|an|2n＝|a1|21－|a2|22＋|a2|22－|a3|23＋…＋|an－1|2n－1－|an|2n≤121＋122＋…＋12n－11，因此|an|≥2n－1(|a1|－2.5分2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页(2任取n∈N*，由(1知，对于任意mn，|an|2n－|am|2m＝|an|2n－|an＋1|2n＋1＋|an＋1|2n＋1－|an＋2|2n＋2＋…＋|am－1|2m－1－|am|2m≤12n＋12n＋1＋…＋12m－112n－1，故|an|12n－1＋|am|2m·2n≤12n－1＋12m·32m·2n＝2＋34m·2n.8分2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页从而对于任意mn，均有|an|2＋34m·2n.①由m的任意性得|an|≤2.否则，存在n0∈N*，有|an0|2，取正整数m0log34|an0|－22n0且m0n0，11分则2n0·34m02n0·34log34|an0|－22n0＝|an0|－2，与①式矛盾.综上，对于任意n∈N*，均有|an|≤2.15分2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页热点题型1数列中的an与Sn的关系题型分析：以数列中an与Sn间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力.数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足2ananSn－S2n＝1(n≥2.求数列{an}的通项公式.【导学号：58962024】2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页[解]由已知，当n≥2时，2ananSn－S2n＝1，所以2Sn－Sn－1Sn－Sn－1Sn－S2n＝1，2分即2Sn－Sn－1－Sn－1Sn＝1，所以1Sn－1Sn－1＝12.4分又S1＝a1＝1，2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页所以数列1Sn是首项为1，公差为12的等差数列，6分所以1Sn＝1＋12(n－1＝n＋12，即Sn＝2n＋1.8分所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝－2nn＋1.12分因此an＝1，n＝1，－2nn＋1，n≥2.15分2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2求通项公式时，务必验证n＝1时的情形.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页[变式训练1](1(2016·合肥三模已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________.(2已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且2Sn＋2＝3an(n∈N*，则an＝__________.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页(1n·2n(n∈N*(22×3n－1(n∈N*[(1由Sn＝2an－2n得当n＝1时，S1＝a1＝2；当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1－2n，即Sn2n－Sn－12n－1＝1，所以数列Sn2n是首项为1，公差为1的等差数列，则Sn2n＝n，Sn＝n·2n(n≥2，当n＝1时，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页(2因为2Sn＋2＝3an，①所以2Sn＋1＋2＝3an＋1，②由②－①，得2Sn＋1－2Sn＝3an＋1－3an，所以2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1an＝3.当n＝1时，2＋2S1＝3a1，所以a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2×3n－1(n∈N*.]2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页热点题型2裂项相消法求和题型分析：裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于其中{an}为等差数列等形式的数列求和.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列，(1求数列{an}的通项公式；(2若数列1Sn的前n项和为Tn，求证：16≤Tn38.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页[解](1由已知及等差数列的性质得S5＝5a3，∴a3＝14，1分又a2，a7，a22成等比数列，即a27＝a2·a22.2分由(a1＋6d2＝(a1＋d(a1＋21d且d≠0，解得a1＝32d，∴a1＝6，d＝4.4分故数列{an}的通项公式为an＝4n＋2，n∈N*.6分2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页(2证明：由(1得Sn＝na1＋an2＝2n2＋4n，1Sn＝12n2＋4n＝141n－1n＋2，8分∴Tn＝141－13＋12－14＋…＋1n－1n＋2＝38－141n＋1＋1n＋2.11分又Tn≥T1＝38－1412＋13＝16，所以16≤Tn38.15分2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*的形式，常见的裂项方式有：(11nn＋k＝1k1n－1n＋k；(212n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；(31n＋n＋k＝1k(n＋k－n.提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页[变式训练2](名师押题已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1求数列{an}的通项公式；(2设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝an＋1SnSn＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1由题设知a1·a4＝a2·a3＝8，2分又a1＋a4＝9，可得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1.(舍去4分由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.6分2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页(2Sn＝a11－qn1－q＝2n－1.8分又bn＝an＋1SnSn＋1＝Sn＋1－SnSnSn＋1＝1Sn－1Sn＋1，12分所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1S1－1S2＋1S2－1S3＋…＋1Sn－1Sn＋1＝1S1－1Sn＋1＝1－12n＋1－1.15分2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页热点题型3错位相减法求和题型分析：限于数列解答题的位置较为靠前，加上错位相减法的运算量相对较大，故在近5年中仅有1年对该命题点作了考查，但其仍是命题的热点之一，务必加强训练.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*，b1＋12b2＋13b3＋…＋1nbn＝bn＋1－1(n∈N*.(1求an与bn；(2记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.2017版高三二轮复习与策略上一页返回首页下一页[解](1由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*.2分由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.3分当n≥2时，1nbn＝bn＋1－bn.4分整理得bn＋1n＋1＝