6-1多元数量函数积分的概念与性质

第一节多元数量函数积分的概念与性质第二节二重积分的计算第三节三重积分的计算第四节第一型曲线积分的计算第五节第一型曲面积分的计算第六节数量函数积分的应用第六章多元数量函数的积分学及其应用1.1积分的概念实例1.曲顶柱体的体积(,)(,)0xoyDDzzfxyfxyD设有一立体，它的底是面上的闭区域，它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，它的顶是曲面，这里且在上连续．这样的立体叫做曲顶柱体．xzo),(yxfzyD一、两个实例体积=平顶柱体的体积计算底面积×高曲边梯形面积的求法“分割、近似、求和、取极限”的思想方法曲顶柱体的体积计算以直线代曲线以平面代曲面（2）近似),(iii),2,,1(ni，用以),(iif为高，i为底的平顶柱体的体积iiif),(近似代替个第i小曲顶柱体的体积，即iiiifV),(),2,,1(ni。（1）分割。将D区域任意分成个n子域：1，2，…，n。并以i),2,,1(ni表示个第i子域的面积。然后以每个子域的边界曲线为准线，作母线平行于轴z的柱面，这些柱面就把原来的曲顶柱体分成n个小的曲顶柱体。iiiifV),(xzyoDi),(ii（4）取极限设}{max1的直径inid，当0d时上面和式的极限就是曲顶柱体的体积，即iniiidfV10),(lim。（3）求和将这n个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体体积的近似值，即iniiiniifVV11),(总结步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，xzyoD),(yxfzi),(ii先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，01lim(,).niiidiVf曲顶柱体的体积实例2．平面薄片的质量设有一平面薄片在xoy平面上占有区域D，其面密度为D上的连续函数),(yx，求该平面薄片的质量m。xyoD均匀薄片的质量面密度薄片面积（1）分割将薄片(即区域D)任意分成n个子域：n,,,21，并以i),2,,1(ni表示第i个子域的面积。（2）近似),(iii),2,,1(ni，第i块薄片的质量的近似值为im),(iii。xyoD),(iii（3）求和将这n个看作质量分布均匀的小块的质量相加，得到整个平面薄片质量的近似值，即iniiiniimm11),(（4）取极限设}{max1的直径inid，当0d上面和式的极限就是所求薄片的质量，即iniiidm10),(lim。而且与定积分中的问题相比较，思想方法完全是一致的，只是闭区间换成了闭区域（也可是闭曲面），一元函数换成了二元函数（也可是三元函数）。保留其数学结构的特征，抽象出其共性，可得数量函数积分的概念。从上两例可见：虽然问题的背景不同，一个是几何问题，一个是物理问题，讨论的对象不一样，一个是空间立体，一个是平面，但处理的方法是一样的，最终都归结为同一形式的和式的极限。.上有定义在的几何形体，函数是一个有界的可以度量设f二、数量函数积分的概念),,,2,1nknk（个小部分任意分割成将定义1.1，的直径记（其度量仍记为knkkdnk1max),,,1kknkkkMfM)(1，作和式任取点如何选取，当如何分割，点如果不论将kkM，即记为上的积分在上可积，极限值为几何形体在极限，则称函数时，上述和式有确定的dMfffd)(,0kknkdMfdMf)(lim)(10kknkkdDfdyxf),(lim,10二重积分:三重积分：kkknkkdvfdvzyxf),,(lim),,(10第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）：kkknkkdLsfdszyxf),,(lim),,(10kknkkdLsfdsyxf),(lim),(10第一型曲面积分（对面积的曲面积分）：kkknkkdAfdAzyxf),,(lim),,(100,yxfyxfz,Ddyxf,当时，=以D为底,以为顶的曲顶柱体的体积；01limnkdkd的度量时，1f数量函数积分的几何意义：;的面积平面区域DdD的体积；空间立体dv;的面积曲面Ad.的长度曲线LdsL数量函数积分的物理应用之一：的密度函数时，为几何形体当函数f()fMd的质量dMgbdMfadMbgMaf)()()]()([三、数量函数积分的性质1、线性性2、可加性dMfdMfdMf)()()(21无公共内点。与且其中2121,dMgdMf)()(特别地，有dMfdMf)()(3、（单调性）若则,()(),MfMgM，使，则存在设*)(MCMf的度量的度量12)(MdMfM4、估值定理5、中值定理的度量)()(*MfdMf若则21,(),MMfMM