排列组合综合应用问题

引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。和应用问题。问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意什么问题？解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用特殊位置法、特殊元素法；上述两种称“直接法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法,采用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插空法、定序问题倍缩法等。解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；④分为甲、乙、丙三组，每组4人；⑤分为三组，每组4人。例1：有12人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。①C125.C74.C33②C125.C74.C33③C125.C74.C33.A33④C124.C84.C44⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人。⑥C122.C105.C55A22⑤C124.C84.C44A33一、分配问题小结：练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个）种数的基础上乘以组数的全排列数。2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的，一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是平均分配。这样分配问题就解决了。结论：给出组名(非平均中未指明各组个数）的要在未给出组名的种数的基础上，乘以组数的阶乘。例2：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打训练，两边都必须要1男1女，共有多少种不同的搭配方法。分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选出2男2女，有C82.C72种；然后考虑2男2女搭配。先排男队员、再排女队员，所以总的搭配方法有种。二、搭配问题先组后排222872CCA例3.高一要从全年级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？611524824848(ACAAAA种）三.有条件限制的排列问题例4：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。四、有条件限制的组合问题：解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类：①2个偶数，3个奇数；②3个偶数，2个奇数；③4个偶数，1个奇数。所以共有子集个数为C42.C53+C43.C52+C44.C51=105解法2：从反面考虑，全部子集个数为C95，而不符合条件的有两类：①5个都是奇数；②4个奇数，1个偶数。所以共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105下面解法错在哪里?例4：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。至少有两个偶数，可先由4个偶数中取2个偶数，然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至少有2个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个)用“具体排”来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选4个偶数中的2，4，又C73中选剩下的3个元素不6，1，3组成集合{2，4，6，1，3，}；再看另一种选法：由C42中选4个偶数中的4，6，又C73中选剩下的3个元素选2，1，3组成集合{4，6，2，1，3}。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原因是分类不独立。五、排列组合混合问题：例5：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。一共有多少种分配方案。解1：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选2名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种工作中任选3种（组合问题）分给6个男同学中的3人（排列问题）有C53.A63种,第二步,将余下的2个工作分给4个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理共有C53.A63.A42=14400(种).亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配方案有C52.A42.A63=14400(种).例6.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？解：可以分为两类情况：①若取出6，则有种方法；②若不取6，则有种方法，211182772(A+CCC)1277CA根据分类计数原理，一共有+＝602种方法211182772(A+CCC)1277CA六、化归策略例7、25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？变式7：某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从A走到B的最短路径有多少种?BA3311155321CCCCC3735C8.在一个圆周上均匀分布着20个点，每两点连一弦，共有多少条？这些弦中有多少个交在例园内的点？420CACBD七、错位排列例9.编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有___种.解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有26C种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9＝135种.269C练习1：4位同学各写了一张明信片，然后统一收齐放到盒子里，每位同学再去抽取一张，问他们均不拿到自己的有多少种拿法？练习2用三种不同的颜色填涂如图3×3方格中的9个区域，要求每行每列的三个区域都不同颜色，则不同的填涂方法有多少种？解：第一行的涂法种数是33A第二行的涂法相当于三个元素的错位排列，涂法种数是2第三行只有1种涂法共有种332112A八、分类组合,隔板处理例10、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.解:采用“隔板法”得:5294095C练习：1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？4735C10168008C3.xyz11,x,y,z已知方程问共有多少组正整数解？21045C巩固练习1.4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少得1名，则不同的保送方案总数为（）。（A)36(B)24(C)12(D)62.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（）（A)20(B)19(C)10(D)693.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数有（）个。（A)(B)(C)(D)282414CCC282414ACC442814ACC282414AAAABB2343CA3252C1A4.某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（B）种（C）种（D）种38C38A39C311CA5.对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能。314464576CCA6.有四同学在同一天的上、下参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下各测试一个项目，且不重复。若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人。则不同的安排方式有_________种？分析：上午测试安排方式有44A下午测试方式分为：（1）若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”的安排方式：2（2）若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”的安排方式：9264上午项目：“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”下午项目：“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”442+9=2411=264A共有：（）7.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有______种(以数字作答)．112322123233122):3648CACCA解析：1)两老一新:C两新一老即共有种排法．8、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:312353431080CCCA9、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：边分边排：223364540CCA解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.5401)()(24122613CCCC10.15人按照下列要求分配，求不同的分法种数。(1)分为三组，每组5人,共有______________种不同的分法。（2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各4人，共有___________________种不同的分法。（3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组4人，共有___________________种不同的分法。11.8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都不站中间两位的排法有______________________种。12.某班有27名男生13女生，要各选3人组成班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有________________种不同的选法。3355510515/ACCC22334448715/AACCC334459615ACCC222226331237124446AACAACCAC221224213427ACCCC例2：求不同的排法种数。①6男2女排成一排，2女相邻；②6男2女排成一排，2女不能相邻；③4男4女排成一排，同性者相邻；④4男4女排成一排，同性者不能相邻。分析：①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列，有A77.A22种“捆绑法”②把6男2女8人全排列，扣去2女“相邻”就是2女“不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法”还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.分离排列问题思考:对于不相邻的分离排列能否都用“排除法”?若改5男3女排成一列,3女不相邻,用排除法得对吗?22553388AAAA③4男4女排成一列，同性者相邻，把4男、4女捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所在地共有A22.A44.A44种。“捆绑法”④同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，女偶数位，或者对调。∴总排列数为A22.A44.A44种。（一）.有条件限制的排列问题例1：5个不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。①a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？②a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？③a,e排在一起多少种排法？④a,e不相邻有多少种排法？⑤a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？解：①（解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。由乘法共有A22.A33=12(种)排法。优先法二.排列组合应用问题解：②先从b,c,d三个选其中两个排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e排在中间三个位置有A33种，由乘法原理:共有A