索洛模型推导

索洛模型描述的是资本、技术水平、储蓄、劳动与经济增长之间的关系。要推导索洛模型，首先来看经典的经济增长理论。生产函数：),(LKFAY⋅=(1)Y=实际GDP产出A=技术水平K=资本存量L=劳动力总产出的变动可以分解成技术水平、资本、劳动三种要素的变动，故得到实际GDP的增长率：)()(LLKKAAYYΔ+Δ+Δ=Δβα(2)经典的增长理论假设技术水平A已经给定，要素的边际产量递减且规模报酬为零，故(2)式可以变为：)()1()(LLKKYYΔ⋅-+Δ⋅=Δαα(3)现在来推导索洛模型。索洛模型研究的是每个工人的实际GDP（LYy=）和每个工人的资本(LKk=)之间的关系。将y对Y和L进行全微分之后可以得到以下公式：LLYYyyΔ-Δ=Δ(4)即：每个工人的实际GDP增长率=实际GDP增长率—劳动增长率同理可得：LLKKkkΔ-Δ=Δ(5)即：每个工人的实际GDP增长率=资本增长率—劳动增长率由(3)式可得：)(LLKKLLYYΔ-Δ=Δ-Δα(6)把(4)式、（5）代入得：)(kkyyΔ=Δα(7)至此，我们可以得出结论：在技术水平外生给定的条件下，每个工人的实际GDP增长率取决于平均资本增长率。下面再来推导决定每个工人的实际GDP增长率的两个条件——实际GDP增长率KKΔ和劳动增长率LLΔ。我们在国民收入核算中学过，国内生产净值(NDP)等于GDP减去资本存量的折旧。而国民收入等于国内生产净值，它又流向了两个方向：消费C和实际储蓄。写成方程即：)(KYsCKYδδ-⋅-=-(8)s=储蓄率δ=折旧率用支出法核算，ICY+=(9)即：收入=消费+投资两边同时减去Kδ得：KICKYδδ-+=-(10)即：实际GNP=消费+净投资(8)式与(10)比较，两等式的左边相同，故右边相等：)(KYsKIδδ-=-(11)即：净投资=实际储蓄又因为资本存量的变化等于总投资减去折旧，我们可以得到：KIKδ-=Δ(12)代人(11)式可得：)(KYsKδ-=Δ(13)两边同时除以K得：δsKYsKK-⋅=Δ(14)对于LLΔ，我们假设它等于外生的人口增长率n：nLL=Δ(15)把(14)式、(15)式代入(5)式可以得到每个工人的平均资本增长率nsKYskk--⋅=Δδ)((16)nskys--=δ)(如果我们把y表达成k的函数，便可得到：)(kfAy⋅=则有：nskkfsAkk--=Δδ))(((17)[]nskkfsAkkyy--=Δ=Δδαα)/)(()((18)以上(17)式、(18)式便是索洛模型的关键方程。根据索洛模型，我们可以得出这样的结论：在给定技术水平、储蓄率、折旧率和人口增长率的条件下，经济增长率（以每个工人平均GDP的增长率表示）是由人均资本决定的。随着每个工人的平均资本k的增长，平均资本增长率不断减少，平均GDP产出不断减少，最终可以到达稳定水平，即：***=-nkskys)((19)