椭圆焦点三角形四心的轨迹

1椭圆焦点三角形四心的轨迹北京市日坛中学延静里校区邱继勇100025对椭圆的焦点三角形的研究，是考察学生基础知识、基本技能、基本方法和三者综合运用能力的重要载体，是历年高考和高考复习的重要内容；同时，利用几何画板绘制动态图形的功能，可以为研究几何图形性质提供更加简洁的思路，可以更好的体现几何学的本质．下面介绍利用几何画板，研究椭圆：)0(12222babyax焦点三角形四心轨迹的过程．一、椭圆：)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹及其方程：利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程．⒈利用参数方程，绘制椭圆C：sincosbyax．⒉绘制点)sin,cos(baP，并且作出焦点三角形21PFF，如图（1）．⒊作出∠21PFF和∠21FPF角平分线，设交点为I，如图（2）．⒋使点P在椭圆上运动，观察点I的运动轨迹，如图（3）．图（1）图（2）图（3）⒌下面求它的轨迹方程：解：如图（4），设点P00,yx，内心I为),(yx，焦点)0,()0,(21cFcF、，11rPF，22rPF，则0212exrr．过内心I作IFIEID、、垂直2121PFPFFF、、于点FED、、．∵点I是△PFF21的内心，点FED、、是内切圆的切点，图（4）2∴由切线长定理，得方程组：cDFDFrFFPFrEFPE2212211，结合0212exrr，解得：01excDF．而xcDF1，∴0exx，既exx0．………………………………①又∵△PFF21面积0ycS，ycayPFPFFFSF)()(21121，∴0ycyca)(，既0y=ycca．………………………………………②将①②代入)0(1220220babyax，得1)(222222cacbycx．可知，椭圆)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率是ee12．二、椭圆：)0(12222babyax焦点三角形重心的轨迹及其方程：椭圆：)0(12222babyax焦点三角形重心的轨迹仍是一个椭圆，如图（5），它的离心率与)0(12222babyax的离心率相同，方程为)0(1992222babyax．解法略去．图（5）三、椭圆：)0(12222babyax焦点三角形垂心的轨迹及其方程：我们还是利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程．如图(6)．它的轨迹是关于原点对称的两条抛物线吗？我们通过它的方程来回答这个问题．图(6)3解：如图（7），设点P00(,)xy，垂心H为),(yx，焦点)0,()0,(21cFcF、，则),(1ycxHF，),(002yxcPF．∵HF1⊥2PF，∴),(ycx00(,)cxy=0．图（7）又∵0xx，∴2200cxyy．……………………………………..①而2200221(0)xyabab，∴22222220022()()bbyaxaxaa……………………….②将②式代入①式，整理得：2222()acxybax．由方程可以看出，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函数图象有关？请大家思考．四、椭圆：)0(12222babyax焦点三角形的外心的轨迹及其方程由于y轴是椭圆)0(12222babyax焦点三角形的一条边的中垂线，所以，可以判断出外心的轨迹是y轴或y轴的一部分，利用几何画板画出的轨迹图形可以说明这一点，如图（8）．下面求焦点三角形外心W的运动范围．解：设点Psin,cosba，外心W为(0,)y，焦点)0,()0,(21cFcF、．由2WPWF，得：2222(cos)(sin)cyayb．图（8）整理，得：2sin2sin2bcyb（22||2bcyb）．4内心内心可知，椭圆：)0(12222babyax焦点三角形的外心的轨迹或者是y轴，或者是y轴上的两条射线．从上面求椭圆：)0(12222babyax焦点三角形的四心的轨迹及其方程的过程来看，比较充分的体现了“利用方程研究图形”的解析几何基本内容；显示了几何画板在研究几何问题中，直观、生动、引发思考的巨大作用．事实上，通过对课件的观察，我们还可以得到更多的、开放性的问题，如欧拉线的问题等，这里不在讨论，请读者通过链接的课件的自己研究．焦点三角形的四心.gsp操作步骤：（以内心轨迹形成为例）⒈点击出现三角形的角平分线和内心“I”⒉点击出现点P运动，并角平分线交点“I”形成内心轨迹．⒊再点击停止运动，可以观察图形性质．⒋再点击角平分线及交点“I”隐藏．运动对象运动对象