特征值与特征向量-习题课

1§5.1基本概念与计算§5.3n维向量空间的正交化§5.4实对称矩阵的相似对角化§5.2矩阵的相似对角化习题课2方阵的特征值和特征向量实对称矩阵的相似对角化定义有关特征值的结论有关特征向量的结论定义性质3定义.,,,,的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那么成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设AxAxAxxnnA.)(.0的特征多项式称为方阵的特征方程称为方阵AAIfAAI1.方阵的特征值和特征向量一、主要内容4.)2(;)1(,,,,)(.2122112121AaaaaAnAnnnnnnij则有的特征值为若个特征值有阶方阵52.有关特征值的一些结论则的特征向量的对应于是的特征值是若,,AxA).()1(是任意常数的特征值是kkAk).()2(是正整数的特征值是mAmm,,)3(11的特征值是可逆时AA.1*的特征值是AA.1,,,,,,1*1的特征向量分别对应于仍是矩阵且AkAAAkAxmm(4)()fx为x的多项式，则为的特征值.)(Af)(f.5的特征值相同和）矩阵（TAA6.)2(向量是线性无关的属于不同特征值的特征(3)属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．3.有关特征向量的一些结论(1)一个特征向量只能属于一个特征值.即不同的特征值所对应的特征向量不同.即方阵A的与特征值对应的特征向量不唯一.7定义.,.,,,,,11的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对进行运算对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设BAPAAPPABAABBAPPPnBA矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；(3)传递性．4.相似矩阵记作.~BA8.,,,,)2(2121个特征值的是则相似与对角矩阵若nAAnn5.有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同．ABAABB)1(APP1PAP即9.)()(,,,,.)()(,,)3(111111PPAPPAAPPPPBPAPBPAPPBAkkkk则有为对角阵使若有可逆阵特别地则若(5)A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量．(6)A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似．,0)4(1APP0A,1IAPPIA,1kIAPPkIA(逆命题不成立)(6)A能对角化的充分必要条件是A的所有特征值的重数等于所对应的线性无关的特征向量的个数．10APPPA1,~使得nnnppppppA212121,,,,,,,PAP.,,,2211nnpppnApApAp,,,21nnnpAppAppAp,,,222111.,,,1的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是iinApPA.,,,21线性无关且nppp11nnbbbaaa,,,,,,,2121设Tnnbababa2211,(1)内积(2)长度,22221naaa(3)夹角.),(arccos,,00的夹角为定义时，当7.正交化与正交矩阵12(4)将一组基标准正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化．;11TAA;2IAAT;3单位向量的列向量是两两正交的A.4单位向量的行向量是两两正交的A(5)为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A13.)1(实数实对称矩阵的特征值为.)2(量必正交特征值的特征向实对称矩阵的属于不同.)3(的个数的线性无关的特征向量对应的特征值的重数等于所实对称矩阵A.)4(实对称矩阵必可对角化6.实对称矩阵的相似矩阵.)5(要条件是特征值相同两实对称矩阵相似的充14nnAA是否为实对称矩阵？0||AIA的特征值求出?是否有重特征值A?)(iiisn个数求线性无关特征向量的重数为对所有重特征值iisn不能对角化能对角化否是否是否是方阵A对角化的步骤15(一)正交化与正交矩阵.二、基本题型(二)将线性无关向量组化为正交单位向量组.(三)特征值与特征向量的求法.(四)已知A的特征值，求与A相关矩阵的特征值.(五)求方阵A的特征多项式.(六)关于特征值的其它问题.(七)判断方阵A可否对角化.(八)利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵.16与设α)β,α(是4阶正交矩阵A的前两列，则内积_________.例.0由于正交矩阵中的任意两个列向量都是相互正交的单位向量.2,3α与的长度为与设向量),(则内积例.5_________．典型例题),(),(4917,α,α,α4321线性无关维列向量若例)4,3,2,1(ii又,α,α,α321均正交非零且与).,,,(4321R求解.1),,,(4321R0T3T2T1X齐次方程)4,3,2,1(ii,α,α,α321均正交与0T3T2T1iii的非零解是齐次方程0,,,T3T2T14321X)4,3,2,1(i3T3T2T1R而0T3T2T1iii18.)]/(2[,,为正交矩阵证明阶单位矩阵为维列向量是设aaaaEAnEnaTT证明.EAAT证根据正交矩阵的定义验])/2([aaaaEATTTTaaaaETT)/2(,AAAT])/2([])/2([aaaaEaaaaETTTTAA例.)(])(/4[)](/2[)](/2[2aaaaaaaaaaaaaaETTTTTTT19.)(])(/4[)](/4[2aaaaaaaaaaETTTTT.2,1,是正交矩阵时当特别aaEAaaTT,,0为一非零数aaaT),)(()(aaaaaaaaTTTT故,)]/(4[)]/(4[EaaaaaaaaEAATTTTT.是正交矩阵故AAATaaaaEATT)/2(20.,,,,,121的特征值与特征向量求的特征向量为属于的全部特征值为阶方阵设APPAniin解相似，与APPA1例.,,,121的全部特征值就是APPn.1的特征向量属于其次求iAPP,iiiA),())((111iiiPPAPP即.11的特征向量属于是故iiAPPP,1P两边左乘,11iiiPAP2112))(2(,2TAA则矩阵的一个特征值是可逆矩阵?有一个特征值为多少,2的一个特征值是TA,)(422的一个特征值是TA,)(28222的一个特征值是TA.))(2(8121122的一个特征值是TA例解(2002年)22例设n阶矩阵A的任何一行元素的和都是a,求A的一个特征值与特征向量.212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA设aaaainii21则解)7(177P23则取,1,,1,1T111212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAaaa,的一个特征值是Aa.1,,1,1T的一个特征向量是Annnnnnaaaaaaaaa212222111211,111a24例.,44174147,121的其余特征值求的特征值是矩阵设AaAAAIAI1210369a解84154145a.4a25444174147A332211321aaa,108444174147.332得,10818123213211代入将,18477A32126设A是3阶矩阵,A-1的特征值是1,2,3,.的特征值求A,11AAA,3,2,11：是的特征值A,61A.21,31,61：的特征值是A解.1AAA则63211A.AA的特征值是27AA的行列式用特征根计算方阵.,5,2,1,13,323321BAABA求设个特征值为它的阶矩阵是设解.,21AAAn来计算要关系的行列式与特征值的重利用,5)(23xxxf令例故部特征值的全是所以.5)()31)((23BAAAfifi)(AfB)()()(321fff.288)12)(6)(4(28.3,)(,,2AIrARAAnA计算且阶实对称矩阵是设例解，的特征值为设A,2AA由，得02.1,0或即,阶实对称矩阵是nA,~A,)(rAR又,)(rR0011，重和重的特征值为)(0)(1rnrA，重和重的特征值为)(303)(2133rnrAI.323rnrAI)5(206P类题29的可逆性来讨论的特征值用方阵AkEA,;0不可逆的特征值是AkIAkAkI?,1,)2(?8,)1(,2是否可逆且的特征值是设是否可逆若阶方阵为设AIAAIIAnA解,1,121的特征值为A,)1(2IA例,8可逆从而AI,8的特征值不是故Ak.,1,均可逆对一般地AkIk.0可逆的特征值不是AkIAkAkI30于是的特征值不是所以因为,1,1)2(A.均为可逆矩阵故AI0)1(AI?,1,)2(?8,)1(,2是否可逆且的特征值是设是否可逆若阶方阵为设AIAAIIAnA例解31.),(0,)2(?)1(.00221100不可对角化证明且至少有一如果可对角化在什么条件下阶下三角阵是设AjiaaaaAnAjinn解(1)可对角化的充分条件是有个互异的特征值．下面求出的所有特征值．AAAn例,*****00*002211aaaAnn).1(niaAiii的所有特征值得.,,),,2,1,,(可对角化时即当时当Aaanjijijjiiji)2(186P类题32.)2(用反证法.)1(),,,,(,,211的特征值是使则存在可逆矩阵可对角化若AnidiagAPPPAin所以可知由,)1(11aaiii.111111111IaaaaAPP,11111111IaPPaPIaPA,)(00000矛盾至少有一与jiaAji.不可对角化A33例的特征向量，对应于分别是矩阵设2121,,Axx解的一个特征向量，不可能是证明而且Axx2121,222111,xAxxAx的某一个特征向量，是假设Axx21)()(2121xxxxA)(2121xxAxAx2211xx)(21xx0)()(2211xx,)()(,2121不可能同时为零与线性相关，21,xx.征向量是线性无关的但属于不同特征值的特矛盾..假设不成立)3(186P3