固体物理(第16课)紧束缚近似

若电子所处原子势场的作用比其它原子势场作用大得多，或晶体中原子间距较大时，就不能用近自由电子近似。这时电子的共有化运动状态和原子的束缚态之间有直接关系，这就是紧束缚近似。6.3紧束缚近似6.3.1原子波函数线性组合第m个孤立原子位矢Rm=m1a1+m2a2+m3a3附近运动电子的束缚态为i(r-Rm)，该波函数满足方程:)()()](2[22miimimRrERrRrVm.i子的影响忽略了晶体中其他诸原对应的能级与个原子的原子势场第m晶体为N个原子组成的布喇菲晶格，电子构成N度简并的系统。能量为Ei的N度简并态i(r-Rm).由于其他诸原子的微扰，不完全真正孤立，简并态消除，而形成N个不同能级构成的能带。(示意图)取上述N个简并态的线性组合)(mimmRra作为晶体中电子共有化状态的波函数，把原子间的相互影响作为周期势场的微扰项.于是晶体中电子的薛定鄂方程为：)()()()](2[22lnRrURrVrUErUm)(ˆ)(2ˆ)()(2)(2)(2ˆ)()(ˆ2202212222nmmnnmmnNnnkkkRrVHRrVmHRrVRrVmRrVmrUmHrErH令微扰计算将上述方程合并得到下列方程：0)()]()()[(mimimmRrRrVrUEEa在紧束缚近似条件下，原子间距比i态的轨道大得多，不同格点的I重叠很小。可以近似认为：mnnimidrRrRr)()(*对上式乘以*i(r-Rm)并积分，经过变换后得到0)()(mmnniaRRJaEENCeamRkim1C2令解出6.3.2能带结构dVURRRJRreRJJEeRRJEeRRJEEimnismsRiksiRikmniRRikmnissmn)()]()([))(()()()()(*00)(令将am代入方程得到：001)()()(1)(sRiksiRikssikNnniRkikssneRJJEeRJEERreNr式中Rs=Rn-Rm，为原子的相对位置。上式为晶体中作共有化运动的电子的能量本征值，与其对应的波函数为：3.说明)()(1)(1)()()(1)(1)()()1(1)(1)(1)(1ruRreNRRreNRrurueRreNeRreNrrkNlliRrkiNnnmiRRrkimkkrkiNnniRrkirkiNnniRkikklnmnn是布洛赫波函数knssnRRGiRRkissinssnRRGkissiGknssnRRkissikGkkEJeeJEJeJEEJeJEEsnhsnsnhhsnhEE)2()()()()()(近邻的与近邻的与近邻的与snikJEkE能带的宽度取决于相联系的能带变化，它们构成了与随)3(示意图)()()()(ˆ000000孤立原子零级近似：nikikkkkRrrEErErH格的原胞数子数或布喇菲晶为晶体中的原N为晶体的体积V22333222111iiiNlNbNlbNlbNlk其中在第一布里渊区有N个值不同的值,对应这些准连续函数取值的波矢k,E(k)构成一个准连续的能带.2.微扰计算结果VnisiSNVsisiSSnssnRRkissikNnniRkikdRrHRrJdRrHRrJJeJEERreNrsnn)(ˆ)()(ˆ)()(1)(**)(1近邻的与6.3.4一个简单的例子简立方中，孤立原子S态s所形成的能带。考查积分项dVURRRJimnis)()]()([))(()(*dVUJRsRRdrRrRrissisinimi)]()([)(,,0,0,,)()(0)()(20**对此用波函数重叠最大时当积分值才不为当它们有一定重叠时态波函数两个原子的的表示相距为和被积函数中ζ：捷塔其次Rs意味着6个近邻原子(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a),(-a,0,0),(0,-a,0),(0,0,-a),对于S态，波函数是球对称的，因而J(Rs)仅取决于原子间距Rs，而与Rs的方向无关。因此，J(Rs)对六个Rs有相同的值，以Jl表示。这样，能量函数可写成：将上述六个近邻Rs代入就可得到：ssRRiksieRJJEE(k))(0)coscos(cos20akakakJJEE(k)zyxIi点：k=(0,0,0)E()=Ei-J0-6J1X点：k=(0,0,/a)E(X)=Ei-J0-2J1R点：k=(/a,/a,/a)E(R)=Ei-J0+6J1XR立方晶格布里渊区2/akxkykz因为J1大于0，点和R点分别对应于带底和带顶。12J1J0近邻原子重叠越多，能带就越宽XREi-J0-6J1Ei-J0-2J1Ei-J0+6J1Ek能带和能级原子能级：电子分层绕核运动，各层轨道上运动的电子具有一定能量，这些能量不连续，只能取某些固定数值，称为能级。n=3n=2n=1Si+14例半导体的能带模型孤立原子能级和能带示意图返回对应原子的各不同量子态，固体中产生一系列的能带，越低的能带越窄，越高的能带越宽。原因：能量最低的带对应于最内层的电子，它们的电子轨道很小，在不同原子间很少重叠，因此，能带较窄，能量较高的外层电子轨道，在不同原子间有较多的重叠，从而形成较宽的带。三种电子运动模型空晶格模型(自由电子模型)：电势为常数。近自由电子模型：周期晶格，微扰理论，零级近似，简并微扰。紧束缚近似模型：原子间距大，晶格势变化显著，在原子附近电子受自身原子的束缚；较紧，不易产生共有化运动，近原子区，电子的行为同孤立原子中的电子行为相似，晶体波函数接近于孤立原子的波函数。作业1用紧束缚近似模型计算最近邻近似下，一维晶格的s态电子能带，画出E(k)和波矢k的关系。证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。